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高中物理强基计划-第1部分-静力学

在高中课程的静力学模块中，我们学习了常见的力(重力、弹力、摩擦力)的性质、力的运算、共点力作用下的平衡等内容。在这个模块的课程中，我们将介绍一些重力、弹力、摩擦力的延伸和拓展内容，以及一般情况下(非共点力作用)的平衡条件及分析技巧。

1、重心的确定

从作用效果上看，物体各部分受到的重力集中于一点，这一点叫做物体的重心。在高中物理课程中我们已经学习过：质量均匀分布的、形状规则的物体，重心就在其几何中心上；并且知道可以通过悬挂法来找到物体的重心。那么，一般情况下物体的重心如何计算呢，下面我们就来研究这个问题。

我们先来看一个简单的例子。如图所示，质量不计的轻杠杆的支点为O,右端悬挂两个重物m、m?。为了叙述方便建立如图所示的坐标轴，支点O为坐标原点，m、m?的位置坐标分别为x?、x?。为了使杠杆保持平衡，需要在左侧与0点距离为d的点施加力F,由杠杆平衡原理可得：Fd=m,gx?+m?gx?。现在假想m?、m?的重力等效作用在某一个点上，那么这个点坐标是多少呢?

假设等效作用点的坐标为x,由于重力等效作用于该点时能产生同样的作用效果，即杠杆仍然保

持平衡，可得：Fd=(mg+m?g)x。

联立可得：

上式即为重力等效作用点的位置，也就是m、m?两体系统重心的位置。类似的我们可以给出质点

组的重心位置坐标公式。

1.质点组的重心

假设物体(质点组)可以看做由n个小物体(质点)组成，用m、m?,.和(x?,y,z?)、(x?,y?,z?),..

分别表示各小物体(质点)的质量和位置坐标，则整体的重心位置坐标为：

2.计算重心的方法

对于一些形状不规则的物体，可能不方便直接应用上面的坐标公式求解。这时，我们可以应用对称、割补、微元等物理思想方法来处理。

(1)对称法：如果一个物体的质量分布具有某种轴对称性，则重心必在该对称轴上。

(2)割补法：对于形状不规则的物体，可以考虑通过分割、填补等办法，转化成若干可以求解的规则图形，再利用公式进行求解。

(3)微元法：将物体分割成很多极小部分(微元),在微元限度内研究对象可能会得到简化；或者微元之间可能存在某种关联，彼此可以相消，从而使问题可以比较容易地解决。

在实际处理问题时，可能需要灵活地运用多种方法，才能较好地解决问题。

在后续课程的学习中，我们会碰到“质心”这个概念。质心是指：当需要将质点组处理成一个质点时，可以认为质点组的全部质量都等效作用于一个点上，这个点就是系统的质心。

一般情况下，认为重力加速度是不变的，因此重心和质心实际是同一个位置。在坐标系中，质心和重心的计算式相同，我们介绍的求重心的方法其实也就是求质心的方法。

【例1】如图所示，阴影部分的物体由四块边长均为l、质量均匀分布均的正方形拼接组成，建立如图所示的坐标系，求该物体的重心位置坐标。

【解析】每个小正方形的重心都在其各自的几何中心上，坐标分别为

则根据重心坐标公式可得重心坐标为：

【答案】

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补充：再举几个类似的例子作为练习，例如下图。

【补充1】如图所示，阴影部分的物体由五块边长均为1、质量均匀分布均为m的正方形拼接组成，建立如图所示的坐标系，求该物体的重心位置坐标。

【解析】每个小正方形的重心都在其各自的几何中心上，结合重心坐标公式可得重心坐标为：

,因此也可实际上这个图形是关于称的轴对称图形，其重心的位置肯定在

,因此也可

以通过对称性直接得.

【答案】

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【例2】如图所示，阴影部分是由半径为R的圆O和半径为的圆O?两部分围成的面积，且两圆内切，。求质量均匀分布的阴影部分的重心位置。

【解析】为了叙述方便，首先建立如图所示的坐标系(以O为原点，OO?方向为x轴)

由于阴影部分质量均匀分布且图形关于x轴对称，因此重心必在x轴上，即y。=0。由于大圆O可以看做由阴影部分和小圆O?叠加组成，因此有：

由于质量均匀分布，设大圆质量为m,则小圆质量为,阴影部分面积为,因此有：。解得：

当然，这个问题也可以换个角度理解、我们把阴影部分看成由密度大小相同的正质量的大圆

O和负质量的小圆O2