2024年江西全国高中数学联赛预赛竞赛数学试卷.doc

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2024年江西全国高中数学联赛预赛竞赛数学试卷

一、填空题（每小题7分，共56分）

1、设集合A={2,3,4,?,4050}，集合B={(a,b)|loga?b+8logb

2、设复数z满足4z?22z?1+|z|

3、P是棱长为2的正四面体ABCD面BCD的中心，M，N分别是面ABD，ACD上的动点，则PM+MN+NP的最小值为????????????．

4、cos2?20°+cos

5、设b，c为实数，满足关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有6个互不相等的实数解，其中f(x)=x?1x

6、正实数x，y，z满足x+2y2+4x2

7、平面上同时和三直线y=34x，y=?43

8、已知正整数n的所有正因数排列为：1=d1d2d3?，则在1，2，3

二、解答题（共46分）

9、双曲线Γ:x2a2?y2b2=1的左右顶点A，B的距离为4，M，N

10、实数a，b，c满足ab+bc+ca=44，求(a

11、点H为锐角△ABC的垂心，⊙H与边BC切于点M且与边AB，AC无交点，BD，CE分别与⊙H切于点D，E（均异于点M），CF，BG为△ABC的高．证明：D，E，F，

12、是否存在实数λ和2024次的实系数多项式P(x)和Q(x)满足对任意实数x，都有P(x

1、【答案】68;

【解析】由题loga?b=2或

又632

所以集合B的元素个数为(63?1)+(7?1)=68．

2、【答案】2;

【解析】由题z≠1

所以(4z?2)(2z?1)|2z?1

从而(2z?1)2=?

设2z?1=bi（其中b∈

再由22=|2z|=|1+bi

所以|z+1|=1

3、【答案】89

【解析】如图，点S，T分别是点P关于面ABD，面ACD的对称点，

线段PS，ST分别和面ABD交于点Q，M0

线段PT，ST分别和面ACD交于点R，N0

点E，F分别是棱DB，DC的中点．

则线段ST的长度与PM+MN+NP相等，且是所求的最小值．

点P和线段PS在面ACE上，点P和线段PT在面ABF上，

从而QR在面AEF上，且QR//EF//ST，ST=2QR．

为便于计算边长比例和角度，我们先设正四面体的棱长为6，

则EA=EC=33，EP=

从而cos?∠PEQ=

所以ST=2QR=2?8

故PM+MN+NP的最小值为89

4、【答案】43

【解析】注意到，

cos

=

=3

sin

=

=9

故所求值为43

5、【答案】【解析】f(x)的定义域D={x|x≠0}关于原点对称，且对任意x∈D，f(?x)=f(x)，

所以f(x)是偶函数，且f(x)=?2x+2,0x12?2

如图，由图可得：原方程有6个互不相等的实数解当且仅当关于t的一元二次方

程t2+bt+c=0的两个根t1，t2满足

此时c=0，b=?t

再结合函数图像得最小值为f(?1)+f(2024)=0+2?2

6、【答案】13

【解析】由8=x+2y2+4

其中不等式在x=y

即x=2，y=2，z=

所以log4

故所求最大值为13

7、【答案】36;

【解析】设满足条件圆的圆心坐标为(a,b)，半径为R，

将直线方程化成标准方程再由点到直线的距离公式得R=|b|=|3a?4b|

所以25b

当a=3b时，得(5b?5)(5b?10)=0，解得b1=1，

当a=?13b时，得53b?5

故所有圆的半径的乘积为1×2×3×6=36．

8、【答案】2376;

【解析】注意到88=23×11

1，2，4，8，11，22，44，88．

要使d10=88当且仅当n是88的倍数且另有2个小于

当n只有2和11两个素因子时，此时增加n中11的幂次不影响其小于88的正因数个数，

26=64?88，得

又n?2024，

所以n=2

当n有三个以上素因子时，若第3个素因子p23，

则p，2p，4p是n的小于88且不整除88的正因数，与d10

所以p?23．

再注意到2024=2

所以，此种情形符合题意的只有n=2024．

故所求和为352+2024=2376．

9、【答案】(6,0)

;

【解析】设直线MN:x=my+x0，M(x

由题得a2=4，x02，

从而(2?x

联立b2x2

则y1+y

从而my

又由kBN

?2=

=4?

即有2+x0=?4+2

所以直线MN过定点(6,0)．

10、【答案】最小值为6400，在(a,b,c)=(2,4,6)时取得该最小值

;

【解析】（1）令D=(a2+4)(b2+4)(c

此时(a

所以(

?(2(ab?4)+2c(a+b))

等号成立当且仅当ab?42

即abc=4(a+b+c)且ab+bc+ca=44．

注