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学必求其心得,业必贵于专精
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第1讲平面向量的概念及线性运算
必威体育精装版考纲1.了解向量的实际背景;2。理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;3.理解向量的几何表示;4。掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义;5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;6。了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识梳理
1。向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2。向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=
a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量
-b的和的
运算叫做
a与b的差
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=λμa;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
3。共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.诊断自测
1。判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.()
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c。()
(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立。()
(5)在△ABC中,D是BC中点,则eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))).()
解析(2)若b=0,则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上。
答案(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√
2.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))相等.则所有正确命题的序号是()
A。① B.③ C.①③ D。①②
解析根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))互为相反向量,故③错误.
答案A
3。(2017·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点,eq\o(AD,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),若eq\o(BC,\s\up6(→))=λeq\o(DC,\s\up6(→))(λ∈R),则λ=()
A.2 B.3 C。-2 D。-3
解析由eq\o(AD,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),可得3eq\o(AD,\s\up6(→))=-eq\o(AB,\s\up6(→))+4eq\o(AC,\s\up6(→)),即4eq\o(AD,\s\up6(→))-4eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)),则4eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(BD,\s\up6(→)),即eq\o(BD,\s\up6(→))=-4eq\o(DC,\s\up6(→)),可得eq\o(BD,\s\up6(→))+eq\o(DC,\s\up6(→))=-3eq\o(DC,\s\up6(→)),故eq\o(BC,\s\up6(→))=-3eq\o(DC,\s\up6(→)),则λ=-3,故选D.
答案D
4.(2015·全国Ⅱ卷)设向
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