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2023年国家集训队第二轮选拔考试试题解析
本文给出2023年第64届IMO中国数学奥林匹克国家集训队第二轮选拔考
试的试题与解答.本次试题新颖有趣,值得思考与研究.因作者水平有限,不当之处
在所难免.请读者不吝赐教.
I.试题
13.是否存在正无理数皿使得至多存在有限个正整数珞满足对任意整数
lkn,都有{kx}冷
14.对非有限实数集B和实数皿定义
d-(x)=mm\x—b\.
(1)给定正整数m.求最小的实数A,使得对任意正整数n和任意实数
⑦⑦2,•…,xn€[0,1],都存在TYI兀实数集B)*两足
d.(雳1)+如(曷)HHdB(xn)An.
⑵设m是正整数是正实数.求证:存在正整数n和非负实数孔说,…心
满足对任意m元实数集B,都有
如(雳1)+d—(雳2)+•••+^B(^n)(1—8)(@1+①2+••,+⑦n).
15.对凸四边形ABCD,称其内部一点P为平衡的,如果:
(1)P不在AC,BD上;
(2)设AP,BP,CP,DP分别交ABCD的边界于点A,D\贝tj
AP•PA=BP•PBr=CP•PC=DP•PDf.
求平衡点数目的最大可能值.
修订日期:2023-05-26.
1
16.如图,圆r,rnr2两两外切,且均与直线i相切.设r,n切于点曷,
r,r2切于点b2,r15r2切于点c.r,r15r2分别与i切于点a,ax,a2,其中a在
线段人2上.设直线11C,AB交于点玖,直线人2。,曷交于点刀2.求证:
DrD//l.
17.是否存在两两不同的整数Q1,Q2,•…,同时满足:
(1)对任意正整数k,ak0且ak+k0;
(2)对任意正整数n,an+-an2023据?
18.求最大的实数入使得对任意一个100阶双随机矩阵,总可以从中选出
150个元素,并将其余9850个元素都改为0,满足此时每行元素之和与每列元素之
和都不小于A.
注:一个n阶双随机矩阵是一个nxn的方阵,所有元素均为非负实数,且每
行元素之和与每列元素之和均为1.
19.设6是单位圆3上的两个定点,满足V^AB.P是a上的一个
动点,满足是锐角三角形且APABBP.设HP的垂心为H,S
是劣弧AP上的一点,满足SH=AH.T是劣弧AB上的一点,满足TB//AP.
设直线ST.BP交于点Q.求证:以HQ为直径的圆经过一个定点.
20.设整数,d满足|a|,d0,b(|q|+1严L设f(x)是次数为d的
实系数多项式,对每个正整数m用rn表示[/S)/]模b的余数.求证:若{『”}最
终周期,则仙)的系数都是有理数.
21.给定整数n2.求最小的实数入使得对任意实数a,a2,••-,⑶及九均
有______
n_____/nn__
人£叵一句+4/n|52^152a/M-
z=iyz=z=
22.求所有的函数/:ZZ,使得对任意整数a.b,c,均有
2/(a2+b+(?}—2/(a+be+co)—f(a—6)2+/(fe—c)2+/(c—a)2.
2
23.设〃是质数,实数人6(0,1),正整数styf.S.T分别是由s.t个连
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