高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第一册）3.1.2 椭圆的简单几何性质(附答案).docxVIP

3.1.2椭圆的简单几何性质

【考点梳理】

考点一：椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

范围

－a≤x≤a，－b≤y≤b

－b≤x≤b，－a≤y≤a

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0)

轴长

短轴长＝2b，长轴长＝2a

焦点

(±eq\r(a2－b2)，0)

(0，±eq\r(a2－b2))

焦距

|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)

对称性

对称轴：x轴、y轴对称中心：原点

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(0,1)

考点二：直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))

消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．

直线与椭圆

解的个数

Δ的取值

两个不同的公共点

两解

Δ0

一个公共点

一解

Δ＝0

没有公共点

无解

Δ0

重难点技巧：弦长的两种方法

(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．

(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(?y1＋y2?2－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．

【题型归纳】

题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴

1．（2022·山东滨州·高二期末）已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（????）

A．长轴长相等 B．短轴长相等

C．焦距相等 D．离心率相等

2．（2021·山东济宁·高二期中）椭圆与椭圆的（????）

A．长轴长相等 B．短轴长相等

C．离心率相等 D．焦距相等

3．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知椭圆的左?右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（????）

A． B． C． D．

题型二：椭圆的椭圆的范围问题

4．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦距为4，则有（????）

A．椭圆C的焦点在x轴上

B．椭圆C的长轴长为6

C．椭圆C的离心率为

D．以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为

5．（2021·江苏·高二单元测试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

6．（2022·福建省永春美岭中学高二期中）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

题型三：椭圆的离心率问题

7．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．（2022·江西省广丰中学高二阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（????）

A． B． C． D．

题型四：椭圆的中点弦问题

10．（2022·四川南充·高二期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

11．（2022·全国·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

12．（2022·四川·遂宁中学高二）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（????）

A． B．

C． D．

题型五：直线与椭圆的弦长问题

13．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（????）

A． B． C． D．

14．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习