高中物理教学论文 数学极值法在物理问题中的妙用.doc

“数学极值法”在物理问题中的妙用

应用数学知识处理物理问题的能力，是物理教学培养学生五个方面能力中的重要一个.其中，数学求极值的方法在解决物理问题时被广泛应用.现就高中物理解题过程中常遇到的几种数学求极值的方法归纳如下，以期同广大同仁进行交流.

1.关于的应用

且=.要使Y有最大值，

θF图1需,即.

θ

F

图1

θGfFNF例1.如图1所示，质量为m的物块放置在水平地面上，物块与地面的动摩擦因数为μ，要使小物块沿水平面匀速运动，

θ

G

f

FN

F

解：以m为研究对象，受力分析如右图：

m匀速运动时：

,.

当.

2.关于的应用

根据二次函数的特点：时，图象开口向上，Y有最小值;时，图象开口向下，Y有最大值.且当时，Y有最值.

例2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车汽车以的速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以的速度匀速驶来，从后面赶过汽车.试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此距离是多少？

解析：设汽车在追上自行车之前经秒两车相距最远，则有：

由二次函数的极值条件知：时，最大，最大值为

3．关于判别式的应用

要使方程有解，须满足.

例3质点从A点由静止出发沿直线运动到B点停止，在这段时间内，物体可以做匀速运动，也可以做加速度为的匀变速运动，要使质点从A到B运动的时间最短，质点应如何运动已知？最短时间是多少？已知A、B间的距离为.

解析：质点从A到B最简单的运动形式为：先做匀加速，再做匀速，最后做匀减速.

设质点从A到B运动的总时间为，做匀加速的时间为，做匀减速运动的时间为，则做匀速直线运动的时间为根据题意有：

①

②

由①②两式得：③

要使③式有解，须满足即得

即的最小值为：带入③得即物体先做匀加速直线运动后做匀

减速直线运动.

4．关于定和求积原理的应用

两数和为常数，当两数相等时其乘积最大.由，若（定值），则当时：、的乘积有极大值.

例5．已知，，R1R2R3KP电源电动势

R1

R2

R3

K

P

解析：设电源发热功率为，干路电流为

r据，可知：最小时，最小.

r

①

②

根据定和求积原理可知：当时，有最小值.

即时，的最小值为

得：

5．关于定积求和原理的应用

两数乘积为常数时，两数相等时，其和值最小.由，若，则时，与的和最小.

例6：一个连同装备总质量为M的宇航员，在距离飞船S处与飞船处于相对静止状态，他准备对太空中的哈勃望远镜进行维修.宇航员背着装有质量为的贮气筒，筒内有一个可以使以速度喷出的喷嘴，宇航员维修完毕后，必须向反方向释放，才能回到飞船，同时又必须保留一部分供途中呼吸之用，宇航员的耗氧率为(kg/s).若不考虑喷出对质量的影响，求：为了使总耗氧量最低，应该一次喷出多少氧气？

解析：以飞船为参照物，设喷出质量的氧气时，宇航员获得的速度，则由动量守

恒可知：

因不考虑喷出对质量的影响，所以有：

宇航员返回时间：

宇航员返回过程中呼吸用氧

故总耗氧量为

因：，故当时耗氧量最少

则总耗氧量最少为

6.关于求导法求函数极限的应用

一般地，当函数在连续时，判别是极大（小）值的方法是：

（1）如果在附近的左侧，右侧，那么，是极大值.

（2）如果在附近的左侧，右侧，那么，是极小值.

3mmab例7如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m的a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放．当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度为

3m

m

a

b

A．θ＝90°

B．θ＝45°

C．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小

D．b球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大

解析：由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得：当a球对地面压力刚好为零时，b球摆过的角度θ为.设b球的摆动半径为R，当摆过角度θ时的速度为v，对b球由动能定理：

①

此时重力的瞬时功率为：②

由①②得：③

对于函数其一阶导数为：

原函数单调递增

原函数单调递减

故当取极大值.即b球摆动到最低点的过程中，重