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空间向量与立体几何-清北答案解析
模块1：向量法证明空间位置关系
考点：向量法证明空间位置关系
例题1
1
【答案】见解析
【解析】证明：证法一：
以为原点、、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
AABAPyz
PAABBCaA(0,0,0)(B,0,0)a(C,a0,)aP(0,0,a)E(0,2a,a)
设，则，，，，．
33
(D,a0,)yPC
设，则(a,a,−a)，AD(,a0,)y，
∵PC⊥AD，
∴PC⋅ADa2+ay=0，解得y=−a；
则有，，
(D,a0,)−aPD(a,−a,−a)
2aaaa
，，
EA(0,−3,−3)EC(a,3,−3)
∵PD2EA+EC，PD⊂平面EAC，∴PD//平面EAC．
证法二：
∵ABBC，AB⊥BC，∴△ABC是等腰直角三角形，
PA⊥平面ABCD⇒PA⊥AD，又AD⊥PC，∴AD⊥平面PAC，
∴AD⊥AC．又AB//DC，∴△DAC也是等腰直角三角形，
∴DC=2AC2AB．如图，连接BD，交AC于点M，
DMDC
则2．
MBAB
PEDM
在△BPD中，2，
EBMB
∴PD//EM．又PD⊂平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD//平面EAC．
例题2
1
【答案】见解析
【解析】由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图．
∵ABAA12
,∴OAOBOA11，
∴
A(1,0,0)
,B(0,1,0),C(−1,0,0),D(0,−1,0),A(0,0,1)∵AB
1；11AB,∴B1(−1,1,1)，
∵AC(−1,0,−1)
,BD(0,−2,0)
,BB(−1,0,1)，∴AC⋅BD0,AC⋅BB0；
11111
∴AC⊥BD,
AC⊥BB
,BD∩BBB，∴AC⊥平面BBDD．
1111111
模块2：向量法求角度
考点：向量法求空间角
例题3
1
【答案】3
3
【解析】解：连接BD，设BD与AC交于点G
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