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4.2直线与圆锥曲线的综合问题
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P(x,y),P(x,y),则所
111222
得弦长
|PP|=1+k2|x-x|=1+k2x+x2−4xx
12121212
11
或|PP|=1+|y-y|=1+y+y2−4yy(k≠0)
12k212k21212
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间的距离公式直
接运算.
状元随笔在计算弦长时要特别注意一些特殊情况:①直线与圆锥
曲线的对称轴平行或垂直;②直线过圆锥曲线的焦点.在出现这些情
况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化.
要点二中点弦问题
直线与椭圆相交于A(x,y),B(x,y)两点,与弦AB中点有关的问
1122
题称为中点弦问题,这类问题的解决常用到“点差法”,其方法是:
22
将A,B两点的坐标代入椭圆方程中,得+=1,①
22
+=1,②
2222
①—②,得−
+−
=0,
即x1+x2x1−x2+y1+y2y1−y2=0③
a2b2
设M(x,y)为AB的中点,则有
00
x+x
x0=12,④
2y−y
同时有直线AB的斜率k=21.⑥
y+yAB
12x−x
y0=,⑤21
2
2
bx0
将④⑤⑥代入③得k=-.
AB2
ay0
状元随笔
直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”,同
学们自己推导.
[基础自测]
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
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