高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第一册)8.1.2样本相关系数-2022-2023学年高二数学考点讲解练(人教A版2019选择性必修第三册)(原卷版+解析).docxVIP

8.1.2样本相关系数

备注：资料包含：1.基础知识归纳；

考点分析及解题方法归纳：考点包含：相关系数的意义及辨析；相关关系的计算；残差的计算；相关指数计算及分析；非线性回归

课堂知识小结

考点巩固提升

知识归纳

1样本的相关系数

r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

2、相关关系的强弱

样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．

当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

注意点：

当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．

当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．

3、样本相关系数的实际应用

当r＞0时，表明两个变量正相关；

当r＜0时，表明两个变量负相关．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．残4.差及残差分析

1．残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．

2．残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

5、拓展延伸：非线性的规划问题

1、对数函数模型y＝c1＋c2lnx

对数函数模型y＝c1＋c2lnx的求法

(1)确定变量，作出散点图．

(2)根据散点图，做出y＝c1＋c2lnx的函数选择．

(3)变量置换，令z＝lnx，通过变量置换把问题转化为＝1＋2z的经验回归问题，并求出经验回归方程＝1＋2z.

(4)根据相应的变换，写出＝1＋2lnx的经验回归方程．

2、残差平方和与决定系数R2

1．残差平方和法

残差平方和yi－i)2越小，模型的拟合效果越好．

2．决定系数R2

可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．

3、指数函数模型y＝αeβx(α＞0)

指数函数型y＝ebx＋a回归问题的处理方法

(1)函数y＝ebx＋a的图象，如图所示．

(2)处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.

4、幂函数模型y＝αxβ(α＞0)

考点1：相关系数的意义及辨析

例1．如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图（数据来自国家统计局）．

根据该折线图，下列说法错误的是（????）

A．城镇人口与年份呈现正相关 B．乡村人口与年份的相关系数接近

C．城镇人口逐年增长率大致相同 D．可预测乡村人口仍呈现下降趋势

【方法技巧】

根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项.

【变式训练】

1．在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选取了4个不同的模型，模型1的相关系数为0.88，模型2的相关系数为0.66，模型3的相关系数为0.945，模型4的相关系数为0.01，其中拟合效果最好的模型是（????）

A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4

2．下列命题中正确的为（）

A．相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强 B．相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱

C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好

3．x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，则，中较大的是________.

考点2：相关关系的计算

例2．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.

依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）.

附：相关系数公式.

【方法技巧】

相关系数公式.

【变式训练】

1．在一组样本数据、、、（，、、、不相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为__________．

2．某省为了坚决打赢脱贫攻坚战，在100个贫困村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据，其中和分别表示第i个贫困村中贫困户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到，，，，．

(1)试估计该省贫困村的贫困户年平均收入；

(2)根据样本数据，求该省贫