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第
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第04讲空间向量基本定理
【题型归纳目录】
题型一:基底的判断
题型二:基底的运用
题型三:正交分解
题型四:用空间向量基本定理解决相关的几何问题
【知识点梳理】
知识点01:空间向量基本定理及样关概念的理解
空间向量基本定理:
如果空间中的三个向量SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10不共面,那么对空间中的任意一个向量SKIPIF10,存在唯一的有序实数组SKIPIF10,使得SKIPIF10.其中,空间中不共面的三个向量SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10组成的集合{SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10},常称为空间向量的一组基底.此时,SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10都称为基向量;如果SKIPIF10,则称SKIPIF10为SKIPIF10在基底{SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10}下的分解式.
知识点2:空间向量的正交分解
单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用SKIPIF10表示.
正交分解:把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
知识点3:用空间向量基本定理解决相关的几何问题
用已知向量表示某一向量的三个关键点:
(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立
【典例例题】
题型一:基底的判断
例1.已知SKIPIF10是空间的一组基底,则可以与向量SKIPIF10,SKIPIF10构成基底的向量是(???)
A.SKIPIF10 B.SKIPIF10 C.SKIPIF10 D.SKIPIF10
【答案】D
【解析】∵SKIPIF10,SKIPIF10,∴SKIPIF10与SKIPIF10共面,故A,B错误;
∵SKIPIF10,∴SKIPIF10与SKIPIF10共面,故C错误;
∵SKIPIF10是基底,∴不存在SKIPIF10使SKIPIF10成立,
∴SKIPIF10与SKIPIF10不共面,故SKIPIF10可以与SKIPIF10构成空间的一组基底,故D正确.故选:D.
例2.已知SKIPIF10是空间的一个基底,则可以与向量SKIPIF10,SKIPIF10构成空间另一个基底的向量是(????)
A.SKIPIF10 B.SKIPIF10 C.SKIPIF10 D.SKIPIF10
【答案】C
【解析】因为SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10SKIPIF10,
所以向量SKIPIF10,SKIPIF10,SKIPIF10均与向量SKIPIF10,SKIP
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