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“费马点”与中考试题

费尔马,法国业余数学家,拥有业余数学之王的称号,他是解析几何的发明者之一.费马点——就是到三角形

的三个顶点的距离之和最小的点.费尔马的结论:对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是

120°的点,对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点.

下面简单说明如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小?这就是所谓的费尔马问题.

图1

解析:如图1,把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′,连接PP′.

则△APP′为等边三角形,AP=PP′,P′C′=PC,

所以PA+PB+PC=PP′+PB+P′C′.

点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长,所以当B、P、P′、C′四点在同一直线

上时,PA+PB+PC最小.

这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°,

∠APC=∠AP′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°,

∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°

因此,当△ABC的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是120°,可在AB、BC边上

分别作120°的弓形弧,两弧在三角形内的交点就是P点;当有一内角大于或等于120°时,所求的P点就是钝角的顶点.

学费尔马问题告诉我们,存在这么一个点到三个定点的距离的和最小,解决问题的方法是运用旋转变换.

欢本文列举近年“费马点”走进中考试卷的实例,供同学们学习参考.

例1(20XX年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为26,

求此正方形的边长.

图2图3

分析:连接AC,发现点E到A、B、C三点的距离之和就是到△ABC三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题

精选名师优秀名师第1页,共4页

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的变形,只是背景不同.

解如图2,连接AC,把△AEC绕点C顺时针旋转60°,得到△GFC,连接EF、BG、AG,可知△EFC、△AGC

都是等边三角形,则EF=CE.

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