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第二章圆锥曲线与方程2.1抛物线及其标准方程
抛物线的生活实例喷泉彩虹
篮球在空中运动的轨迹是抛物线,那么抛物线上的点有怎样的几何特征?
J亲身体验按下列步骤作出一条曲线?在纸一侧固定直尺?将直角三角板的一条直角边紧贴直尺C??取长等于另一直角边长的绳子?固定绳子一端在直尺外一点F?固定绳子另一端在三角板点A上A?F?用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴三角板的直角边动画演示?上下移动三角板,用笔画出轨迹
J信息技术
知识点一抛物线的定义M·?在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.·准线即:若,则点的轨迹F焦点是抛物线.d为M到l的距离?点F叫抛物线的焦点,l?直线l叫抛物线的准线l?想一想:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l经过点F)的距离相等的点的轨迹是什么?FMP34思考交流?经过F且与l垂直的直线
探究抛物线的标准方程?想一想求曲线方程的基本步骤是怎样的??1.建立适当的直角坐标系,设动点M为(x,y)?2.写出适合条件的x,y的关系式?3.列方程?4.化简H·Fl?5.证明
比较探究结果:yyyM(x,y)M(x,y)M(x,y)●oKKKFxFxoxF方程最简洁抛物线的标准方程
知识点二抛物线的标准方程方程y=2px(p>0)表示抛物2线,其焦点F位于x轴的正半轴上,y其准线交于x轴的负半轴.xp即焦点F(,0)oF准线l:x=P的几何意义是:焦点到准线的距离(焦准距),故此p为正常数
探究抛物线的标准方程的其它成员抛物线的标准方程还有哪些形式?其它形式的抛物线的焦点与准线呢?
yyl方案三方案一FFooxxllyy方案二方案四lxooxFF
图形标准方程焦点坐标准线方程y四、四种抛ly2=2pxFx(p0)物线的特征:OyP的意义:抛物线的焦点到准线的距离ly=-2px2Fx(p0)Oyyx=2py2Fx(p0)Ollx=-2py2OFx(p0)
思考:如何确定抛物线的焦点位置和开口方向?1、方程的一次项决定焦点位置,焦点在一次项对应的坐标抽上2、一次项系数的符号决定开口方向系数为正,开口向右或向上系数为负,开口向左或向下3、焦点的非零坐标是一次项系数的4、准线的数值与焦点的非零坐标互为相反数即:一次项系数的相反数
思考与交流?初中学习的二次函数与现在研究的抛物线方程有什么样的关系y=ax2y抛物线的标准方程y=ax2+bx+cy=ax+c2ox抛物线的非标准方程
例题讲解例1、已知抛物线的标准方程是y=6x,2求它的焦点坐标和准线方程;是一次项系数的解:∵2P=6,∴P=3∴抛物线的焦点坐标是(,0)是一次项系数的准线方程是x=的相反数
变式:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y(3)x2=20x(2)y=2x22+8y=0(4)2y+5x=02小结:求抛物x=-5(5,0)线的焦点1一定要先1(0,—)y=-—把抛物线化为标准形式后定焦点、开口及准线88(0,-2)y=25(-—,0)85x=—8
实际应用例2、一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口(直径)为4.8m,深度为0.5m。建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。分析:0.5
解:如图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合。设抛物线的标准方程是y=2px2(p0),由已知条件可得,点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得(0.5,2.4)2.4=2p×0.5,∴p=5.76.∴所求抛物2线的标准方程是y的坐标是(2.88,0)2=11.52x,焦点0.5
小结概括深化认识抛物线?定义标准方程几何性质y2=2pxx22=-2pxx=-2py2=2pyy
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