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二次函数课件
汇报人:xxx
20xx-04-11
二次函数基本概念
二次函数与一元二次方程关系
二次函数图像变换规律
二次函数在实际问题中应用
二次函数性质深入探究
二次函数与其他知识点联系
目录
二次函数基本概念
01
二次函数是一种数学函数,其标准形式为y=ax²+bx+c(其中a、b、c为常数,且a≠0)。
定义
二次函数具有对称性、单调性、最值性等基本性质。
性质
表达式
二次函数的表达式为y=ax²+bx+c,其中x是自变量,y是因变量,a、b、c是函数的参数。
参数含义
参数a决定抛物线的开口方向和大小;参数b和a共同决定对称轴的位置;参数c决定抛物线与y轴的交点。
二次函数的图像是一条抛物线,其形状由参数a决定。当a0时,抛物线开口向上;当a0时,抛物线开口向下。
抛物线形状
二次函数的图像关于一条直线对称,这条直线称为对称轴。对称轴的方程为x=-b/2a。
对称轴
二次函数的图像有一个最高点或最低点,这个点称为顶点。顶点的坐标为(-b/2a,c-b²/4a),它是抛物线的最值点。
顶点
二次函数的图像与x轴的交点称为根或零点,与y轴的交点为(0,c)。
与坐标轴交点
二次函数与一元二次方程关系
02
公式法
使用一元二次方程的求根公式$x=frac{-bpmsqrt{Delta}}{2a}$求解,其中$Delta=b^2-4ac$为判别式。
配方法
通过配方将一元二次方程化为完全平方形式,从而求解。
因式分解法
如果一元二次方程可以化为两个一次因式的乘积等于0的形式,那么这两个一次因式的解就是原方程的解。
当$Delta0$时,方程有两个不相等的实根;当$Delta=0$时,方程有两个相等的实根;当$Delta0$时,方程无实根。
判别方程根的情况
在求解一元二次方程时,判别式$Delta$可以帮助我们选择合适的求解方法。
辅助求解
判别式$Delta$也代表了一元二次函数图像与x轴交点的个数。
几何意义
通过研究一元二次方程的根,我们可以了解对应二次函数的性质,如开口方向、顶点坐标等。
一元二次方程的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标。
如果一元二次方程有两个不相等的实根,那么对应的二次函数图像与x轴就有两个交点;如果方程有两个相等的实根,那么图像与x轴就有一个交点;如果方程无实根,那么图像与x轴无交点。
二次函数图像变换规律
03
y=a(x-h)²+k的图像可由y=ax²的图像向右(h0)或向左(h0)平移|h|个单位得到。
y=ax²+k的图像可由y=ax²的图像向上(k0)或向下(k0)平移|k|个单位得到。
垂直平移
水平平移
当|a|1时,二次函数图像开口较小,图像较为瘦长;当0|a|1时,二次函数图像开口较大,图像较为扁平。
对于函数y=a(bx)²(a≠0,b0),其图像可由y=ax²的图像在x轴上横向压缩(b1)或拉伸(0b1)得到。若b为负数,则还有对称变换的效果。
01
02
对于一般的二次函数y=ax²+bx+c,可以通过配方化为顶点式y=a(x-h)²+k,从而更容易地看出其对称性和顶点坐标(h,k)。
二次函数y=ax²+bx+c的图像关于其对称轴对称。对称轴的方程为x=-b/(2a)。
二次函数在实际问题中应用
04
在物理和体育领域中,抛物线运动轨迹问题经常用到二次函数模型。例如,投掷一个物体时,其运动轨迹可以看作是一个抛物线,可以通过二次函数来描述和预测物体的运动轨迹。
投掷、射门等运动
在桥梁设计中,为了保证桥梁的承载能力和稳定性,需要计算桥梁的拱形结构。这时,可以将桥梁的拱形结构看作是一个抛物线,通过二次函数来计算和设计桥梁的结构。
桥梁设计
利润最大化
在经济学和商业领域中,经常需要解决如何使利润最大化的问题。这时,可以将利润表示为销售量和价格的二次函数,通过对二次函数求最值来找到使利润最大的销售量和价格。
成本最小化
在生产和制造领域中,需要解决如何使成本最小化的问题。这时,可以将成本表示为生产量和原材料价格的二次函数,通过对二次函数求最值来找到使成本最小的生产量和原材料价格。
在金融和投资领域中,二次函数被广泛应用于风险评估、资产定价和投资组合优化等方面。例如,可以利用二次函数来评估投资组合的风险和收益,并找到最优的投资组合。
金融和投资
在计算机科学和图像处理领域中,二次函数也被用于图像处理和计算机视觉等方面。例如,在图像识别中,可以利用二次函数来拟合图像的边缘和轮廓,从而实现图像的识别和分割。
图像处理
二次函数性质深入探究
05
1
2
3
奇函数和偶函数是函数的两种基本性质,奇函数满足f(-x)=-f(x),偶函数满足f(-x)=f(x)。
定义理解
对于二次函数y=ax²+bx+c,当b=0时,函数为偶函数;当b≠0时,函数既非奇函数也非偶函数。
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