矩阵与数值分析公式总结.docx

第一章

绝对误差：

，那么称a为x的具有n位有效数字的近似值

相对误差：

如果a有n位有效数字，那么；如果，那么a至少有n位有效数字。

近似绝对误差估计式：

近似相对误差界为：

N元函数误差界：

第二章

。常见的Hermite阵〔〕、实对称矩阵〔〕、斜Hermite阵〔〕、实反对称矩阵〔〕、酉阵〔〕和正交矩阵〔〕等均为正规矩阵．

正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。A的特征值全为正。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

奇异矩阵：对应的行列式等于0的方阵。

1、矩阵的LU分解或Doolittle分解

对于n阶方阵，如果存在n阶单位下三角矩阵和n阶上三角矩阵，使得,那么称其为矩阵的分解，也称为．Gauss消去法对应的矩阵形式即为分解,其中为所有行乘子组成的单位下三角矩阵,为Gauss消去法结束后得到的上三角矩阵.原方程组分解为两个三角形方程组.

2、矩阵分解的的存在和唯一性〔各阶顺序主子式均不为零〕

如果阶矩阵的各阶顺序主子式均不为零,那么必有单位下三角矩阵和上三角矩阵，使得,而且和是唯一存在的．

3、矩阵的Cholesky分解或平方根法〔正定矩阵〕

对任意阶对称正定矩阵，均存在下三角矩阵使，称其为对称正定矩阵A的Cholesky分解.进一步地,如果规定的对角元为正数，那么是唯一确定的．原方程组分解为两个三角形方程组.

利用矩阵乘法规那么和的下三角结构可得

,,i=j+1,j+2,…,n,j=1,2,…,n.

计算次序为．由于，k=1,2,…,j．因此在分解过程中的元素的数量级不会增长，故平方根法通常是数值稳定的，不必选主元．

4、设为非奇异矩阵，为矩阵的算子范数，称为矩阵的条件数。条件数越大,矩阵和方程组越为病态，反之越小为良态。

5、矩阵的QR分解

利用正交变换保条件数的性质,将满秩矩阵化为主对角元都大于零的上三角矩阵,保持矩阵条件数不变.

设A是n阶可逆实矩阵,那么存在正交阵Q和对角元都大于零的上三角阵R，使得A=QR,称其为矩阵A的QR分解,并且.

Householder矩阵,其中.该矩阵具有如下性质：

特征值为：即，，；

,即H阵为对称阵；

，即H阵为正交阵；

如果，那么(不变长度，镜面反射)；

设且，取，那么

6、Schur分解的一些特殊情况如下:

上三角矩阵为正规矩阵当且仅当为对角矩阵.

阶方阵为正规矩阵当且仅当存在酉阵使得,为阶对角阵。

阶方阵为Hermite阵当且仅当存在酉阵使得,为阶实对角阵。

阶方阵为斜Hermite阵当且仅当存在酉阵使得,为纯虚对角阵。

阶方阵为酉阵当且仅当存在酉阵使得,为阶对角阵,且对角元的模均为1。

7、Jordan分解

〔1〕根的重数称为代数重数；称为几何重数。

〔2〕代数重数为阶数，也就是对角线上特征值的个数；几何重数是块数。

〔3〕中以为特征值、阶数为的Jordan块的个数为,其中,。

〔4〕计算矩阵的Jordan分解步骤：

Jordan标准型J

1、计算矩阵的全部特征值

2、计算特征值的代数重数〔确定对角元〕

3、计算特征值的几何重数〔Jordan块个数〕

4、利用定理2.11确定每个k阶块的个数〔为节省计算量从小到大计算〕

变换矩阵T

1、求得Jordan标准型

2、计算每个Jordan块对应的Jordan链

?假设Jordan块阶数为1，直接计算特征向量

?假设阶数大于1，那么先计算特征向量，利用特征向量的线性组合得到链首〔保证线性方程组2.45有解〕

8、奇异值分解

矩阵A的非零奇异值的个数恰为矩阵A的秩．

设，那么,=．

如果为Hermite矩阵，那么的奇异值即为的特征值的绝对值．

如果为阶方阵，那么．

秩为r的m×n矩阵可以表示为r个秩为1的矩阵的和.

为正规阵,是A的特征值,是相应的特征向量,如果,那么与正交.

第四章

Jacobi迭代法：G-S迭代法：

线性方程组的迭代解法，如果A严格对角占优，那么Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。

线性方程组的迭代解法，如果A不可约对角占优，那么Gauss-Seidel法收敛。

，时,迭代法收敛。

那么迭代法是p阶收敛

牛顿收敛法：，至少是二阶收敛

弦截法：〔p=1.618〕

重根时为了提高收敛阶采用〔1〕，〔2〕弦截法

第五章

Lagrange插值：

Newton插值：

性质：

〔1〕假设，m是自然数，那么

〔2〕

Hermite插值：二点三次Hermite插值多项式

第六章

点Newton-Cotes公式至少有次代数精度

梯形求积公式：，代数精度分别为1

Simpson求积公式：，代数精度分别为3

Cotes公式：，代数精度分别为5

当为偶数时，点的Newton-Cotes公式的代数精度为；

当为奇数时，点的Newton-Co