新人教版八年级数学下册勾股定理典型例题分析.docx

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题一、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例１.在?ABC中，

新人教版八年级下册勾股定理典型例习题

一、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理例１.在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长

⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长分析：直接应用勾股定理

解：⑴AB?

AC2?BC2AB2?AC2?

AC2?BC2

AB2?AC2

题型二：利用勾股定理测量长度

例题1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

根据勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.

例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

C

解析：同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如

B D A

图2.由题意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。

标准解题步骤如下（仅供参考）：解：如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2

设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5

x2+1.52=（x+0.5）2

解之得x=2. 故水深为2米.

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB?

那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

1

1AB

4

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没

有任何条件，我们也可以开创条件，由FB 1AB可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,

4

BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。

详细解题步骤如下：

解：设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2

同理EF2=5a2,DF2=25a2

在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2

∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题4如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。

题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD

=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来

验证。如图4，矩形ABCD表示桌面形状，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想为什么要设为这两个长度？)，连结MN，测量MN的长度。

①如果MN=15,则AM2+AN2=MN2,所以AD边与AB边垂直；

②如果MN=a≠15,则92+122=81+144=225,a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解决实际问题——

例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

2

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5

解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长