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李尚志线性代数习题答案
李尚志线性代数习题答案
线性代数是一门重要的数学学科,它在各个领域都有广泛的应用。而李尚志老
师的线性代数习题集,无疑是学习这门学科的重要参考资料。本文将为大家提
供一些李尚志线性代数习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。
1.矩阵的乘法
题目:计算以下两个矩阵的乘积。
A=[123]
[456]
B=[78]
[910]
[1112]
答案:首先,我们需要确定乘积矩阵的维度。由于A是一个2x3的矩阵,B是
一个3x2的矩阵,所以乘积矩阵的维度应该是2x2。
接下来,我们按照矩阵乘法的定义进行计算。乘积矩阵C的第一行第一列元素
为A的第一行与B的第一列对应元素的乘积之和,即:
C[1,1]=(1*7)+(2*9)+(3*11)=58
同理,可以计算出C的其他元素:
C[1,2]=(1*8)+(2*10)+(3*12)=64
C[2,1]=(4*7)+(5*9)+(6*11)=139
C[2,2]=(4*8)+(5*10)+(6*12)=154
所以,乘积矩阵C为:
C=[5864]
[139154]
2.矩阵的逆
题目:求以下矩阵的逆矩阵。
A=[21]
[43]
答案:要求一个矩阵的逆矩阵,我们需要首先判断该矩阵是否可逆。一个矩阵
可逆的充要条件是其行列式不为零。计算矩阵A的行列式:
det(A)=(2*3)-(1*4)=2
由于行列式不为零,所以矩阵A可逆。接下来,我们可以使用伴随矩阵法求解
逆矩阵。首先,计算矩阵A的伴随矩阵:
adj(A)=[3-1]
[-42]
然后,计算逆矩阵A的每个元素:
A^(-1)=(1/det(A))*adj(A)
A^(-1)=(1/2)*[3-1]
[-42]
所以,矩阵A的逆矩阵为:
A^(-1)=[3/2-1/2]
[-21]
3.特征值和特征向量
题目:求以下矩阵的特征值和对应的特征向量。
A=[21]
[43]
答案:要求一个矩阵的特征值和特征向量,我们需要解矩阵的特征方程。特征
方程的形式为:
det(A-λI)=0
其中,A是给定矩阵,λ是特征值,I是单位矩阵。对于矩阵A,我们可以写出
特征方程:
det(A-λI)=det([2-λ1]
λ])[43-
计算特征方程的行列式:
(2-λ)(3-λ)-(1*4)=0
展开并整理得到:
λ^2-5λ+2=0
解这个二次方程,我们可以得到两个特征值:
λ1=(5+√17)/2
λ2=(5-√17)/2
接下来,我们需要求解每个特征值对应的特征向量。将特征值代入特征方程,
可以得到两个方程:
(2-λ1)x+y=0
4x+(3-λ1)y=0
解这个方程组,我们可以得到特征向量:
v1=[1,(λ1-2)/1]
同理,对于特征值λ2,我们可以得到特征向量:
v2=[1,(λ2-2)/1]
所以,矩阵A的特征值为λ1和λ2,对应的特征向量为v1和v2。
通过以上几个习题的答案,我们可以看到线性代数的一些基本概念和计算方法。
希望这些答案对大家的学习有所帮助,同时也希望大家能够深入学习和理解线
性代数的更多内容,掌握其在实际问题中的应用。
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