18、直角三角形存在性问题--陆老师.pdf

直角三角形存在性问题

1.“两线一圆”几何法

已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形。

①过点A作线段AB的垂线，除点A外，垂线上任意一点都可以与A、B两点

组成直角三角形；

②过点B作线段AB的垂线，除点B外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组

成直角三角形；

③以线段AB为直径作圆，除AB的中点（圆心）外，圆上任意一点都可以与A、

B两点组成直角三角形.

同样的，我们将上述情况放到同一个图形中，如下图所示：（AB所在直线上的

点要去掉，即为图中红色的点）

“两线一圆”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中也会对C点有限制

条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足

题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。

2.两点间距离公式代数法

代数法解题步骤：（以上述题目为例）

（1）表示出A、B、C的坐标；

（2）表示出线段AB、AC、BC的长；

（3）分类列方程：①，②，③；

（3）解方程；（4）检验。

例1：如图所示，在中，，，D、E为

线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，

当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，

如果为直角三角形，求的值.

【解答】或

【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三

角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分

两种情况列方程就可以了.

如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，

在中，，

由得，即，解得，

①如图2，当时，由，得，

，解得；

②如图3，当时，，得，

，解得.

例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若

点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.

【解答】，，，

【解析】将代入中，解得

，

①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，

由AB的解析式可得的解析式为，即；

②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，

由AB的解析式可得的解析式为，即；

③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为

点E，则，

，即，解