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寻找规律题分析解答

例题：如图，P?x,y

?，P?x,y

?，……P?x,y?在函数y=4

(x＞0)的图像

1 1 1

2 2 2

n n n x

上，?POA，?PAA

1 1 2 1 2

，?PAA

3 2 3

，……?PA A都是等腰直角三角形，斜边OA、

n n?1 n 1

AA、AA

1 2 2 3

，……A

A

n?1 n

都在x轴上。

1 2y310P1P2P3

1 2

y

3

10

P

1

P

2

P

3

O

A

1

A

2

A

3

x

相关知识分析：

（一）进行具体推理：如图，在等腰Rt△POA中，作PM⊥X轴于点M

1 1 11 1

则有，PM=OM=MA，P（x,y）中x=y，OA=2x=2y；同样有：PM=AM=MA=y，......

11 1

11 1 1 1

1 1 1 1 1

22 12

22 2,

进而可以得出：

X=y

1 1

X=2y+y

2 1 2

X=2y+2y+y

3 1 2 3

X=2y+2y+2y+y

4 1 2 3 4

... ...

X=2y+2y+2y+. +y

n 1 2 3 n

所以有：

Xy=2y

1+1 1

X+y=2y+2y

2 2 1 2

X+y=2y+2y+2y

3 3 1 2 3

X+y=2y+2y+2y+2y

4 4 1 2 3 4

... ...

X+y=2y+2y+2y+. +2y

n n 1 2 3 n

1

又∵P(x，y)中，xy=4且x=y，可得P(2，2)；

1 1 1 11 1 1 1

2∵P(x，y)中，Xy=4且x=2y+y，y=2，∴（2y+y）y=4，解方程得P(2 +2，

2

2 2 2 22

2 1 2 1

1 2 2 2

22 -2)

2

22∵P(x，y)中，xy=4且x=2y+2y+y，y=2，y=2 -2，∴x=4 +y，

2

2

323 3 3 33 3 1 2 3 1 2 3 3

3

2

232（2y+2y+y）y=（4 +y）y=4，解方程得P(2 +2

2

3

2

，2 -2 )

1 2 3 3 3 3 3

232∵P(x，y)中，xy=4且x=2y+2y+2y+y，y=2，y=2 -2，y=2 -2

2

3

2

4 4 4 44

4 1 2

3 4 1 2 3

233∴x=4 +y，（2y+2y+2y+y）y=（4 +y）y=4，解方程得P(4+2

2

3

3

，4-2 )

4 4 1 2 3 4 4 4 4 4

310（二）分析具体结果,得出一般性结论：

3

1

0

10P(2，2)即（2 +2

1

0

221211

2

2

1

2

1

,2 -2 ）

2P(2

2

3232322

3

2

3

2

3

2

+2，2

-2)即（2

+2 ,2

-2 ）

32P(2 +2

3

2

3

，2 -2

)即（2 +2

,2 -2 ）

3P(4+2

3

4

，4-2

)即（2

+2 ,2

-2 ）

34343...... ......

3

4

3

4

3

从而可以得出：当n为大于或等于1的整数时，

nP(2

n

n

+2 n?1,2

-2 n?1）

n可以进一步综合得出（1）∵X+y=2y+2y+2y+. +2y

n

nnnn n 1 2 3 n

n

n

n

1 1

∴y+y+y+...+y= （X+y）= （2

+2 n?1+2

-2 n?1）=1（4 ）

1 2 3

n 2 n n 2 2

n=2

n

（2）∵A

点的横坐标=2y=X+y

1 1 1 1

A点的横坐标=2y+2y=X+y

2 1 2 2 2

A点的横坐标=2y+2y+2y=X+y

3 1 2 3 3 3

A点的横坐标=2y+2y+2y+2y=X+y

4 1 2 3 4 4 4

... ...

A点的横坐标=2y+2y+2y...+...2y=X+y

nnn 1 2 3 n n n

n

n

=（2

+2 n?1+2

-2 n?1）

n=4

n

n∴A（4

n

n

，0）

2

（三）一般规律的具体应用

1、求点P2014

的坐标。

2014解：当n=2014时，