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安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数教案新人教A版选修1-1
主备人
备课成员
教学内容
本节课的教学内容来自于安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数教案,新人教A版选修1-1。本节课的主要内容包括:
1.理解最大(小)值的定义,掌握求函数在闭区间上的最大(小)值的方法。
2.学习利用导数研究函数的单调性,了解单调增函数和单调减函数的性质。
3.掌握一阶导数的定义,了解一阶导数在研究函数单调性中的作用。
4.学习利用一阶导数判断函数的极值点,掌握求函数极值的方法。
5.通过对实际问题的分析,体会导数在解决实际问题中的重要作用。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括:
1.逻辑推理:通过学习导数在研究函数中的应用,培养学生运用逻辑推理解决数学问题的能力。
2.数学建模:培养学生运用数学知识构建函数模型,并利用导数研究函数的单调性和极值点的习惯。
3.直观想象:通过图形演示和实际问题的分析,帮助学生建立直观的函数极值概念,提高空间想象能力。
4.数学运算:培养学生熟练运用导数公式和性质,求解函数的最值和极值,提高运算求解能力。
5.数据分析:培养学生利用导数分析函数单调性和极值,从而解决实际问题的能力。
教学难点与重点
1.教学重点:
(1)理解最大(小)值的定义,掌握求函数在闭区间上的最大(小)值的方法。
举例:已知函数f(x)=x^2-2x+1,求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。
解:首先,求出函数的一阶导数f(x)=2x-2。令f(x)=0,得到x=1。由于f(x)在x1时小于0,在x1时大于0,因此x=1是f(x)在区间[-1,3]上的极小值点。再计算端点处的函数值,f(-1)=4,f(3)=4。所以,f(x)在区间[-1,3]上的最大值为4,最小值为0。
(2)学习利用导数研究函数的单调性,了解单调增函数和单调减函数的性质。
举例:已知函数f(x)=x^3-3x,求证f(x)在区间[-1,1]上是单调增函数。
解:首先,求出函数的一阶导数f(x)=3x^2-3。由于f(x)在区间[-1,1]上始终大于等于0,因此f(x)在区间[-1,1]上是单调增函数。
(3)掌握一阶导数的定义,了解一阶导数在研究函数单调性中的作用。
举例:已知函数f(x)=e^x,求f(x)的单调性。
解:首先,求出函数的一阶导数f(x)=e^x。由于e^x始终大于0,因此f(x)在整个定义域上都是单调增函数。
(4)学习利用一阶导数判断函数的极值点,掌握求函数极值的方法。
举例:已知函数f(x)=x^3-3x,求f(x)的极值。
解:首先,求出函数的一阶导数f(x)=3x^2-3。令f(x)=0,得到x=±1。通过二阶导数检验可知,x=1是f(x)的极小值点,x=-1是f(x)的极大值点。因此,f(x)的极小值为f(1)=-2,极大值为f(-1)=2。
(5)通过对实际问题的分析,体会导数在解决实际问题中的重要作用。
举例:某商品的利润函数为f(x)=x-500,其中x表示销售数量。求销售数量为1000时,商品的利润最大值。
解:首先,求出函数的一阶导数f(x)=1。令f(x)=0,得到x=1000。由于f(x)始终大于0,因此销售数量为1000时,商品的利润达到最大值。最大利润为f(1000)=500。
2.教学难点:
(1)理解一阶导数的定义,特别是导数的几何意义和求导法则。
(2)利用导数研究函数的单调性,判断函数的极值点,并求解极值。
(3)将导数应用于实际问题,建立数学模型,求解最值等问题。
针对以上难点,教师可以通过讲解导数的几何意义和求导法则,举例说明导数在研究函数单调性和极值中的应用,以及结合实际问题引导学生建立数学模型,从而帮助学生突破难点。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学方法与策略
1.选择适合教学目标和学习者特点的教学方法:
针对本节课的内容,将采用讲授、案例研究和互动讨论相结合的教学方法。讲授法用于向学生传授函数最大(小)值和导数的相关理论知识;案例研究法用于让学生通过分析实际问题,体会导数在解决实际问题中的作用;互动讨论法用于激发学生的思考,培养学生的逻辑推理和数学建模能力。
2.设计具体的教学活动:
(1)导入新课:通过展示生活中的最值问题,如购物时如何选择优惠方案,引出本节课的主题——函数的最大(小)值与导数。
(2)新课讲解:在讲解函数最大(小)值的定义和求解方法时,结合具体案例,如二次函数、指数函数等,让学生直观地感受导数在研究函数
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