数学建模选修课四市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptxVIP

综合练习：导弹追踪问题;;一、数学模型

如图建立坐标系，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方，y轴指向正北方。

当t=0时，导弹位于点O，敌舰位于点A(0,H)，其中H=120km。设导弹在t时刻位置为P(x(t),y(t))，由题意

(1)

其中v1=450km/h。;在t时刻，敌舰位于M(v2t,H)处，其中v2=90km/h。由于导弹轨迹切线方向必须指向敌舰，即直线PM方向就是导弹轨迹上点P切线方向，故有

或(2)

方程(1),(2)连同初值条件(3)

构成了一个关于时间变量t一阶常微分方程组初值问题。;为了取得x与y关系，要设法消去变量t，由(2)式得

两边对t求导得

即;将上式与(1)合并，再加上初值条件，则得下列初值问题

这就是导弹轨迹数学模型。;二、模型求解

1.解析办法

模型中二阶方程能够降阶。令

，则方程可降为一阶可分离变量方程

即;易得

由初值条件，得，从而

注意到上式可改写为

于是有

;这样我们又得到一个可分离变量方程

积分得

利用，得，从而导弹轨迹方程为;设导弹击中敌舰于B(L,H)，以y=H代入上式，得

击中敌舰时刻为

代入详细数据得。;2.数值办法

能够用数值分析中简介Euler公式、改进Euler公式和四阶Runge-Kutta公式来求解上述初值问题。;下面简介两种解常微分方程Euler办法和改进Euler办法。

(1)Euler办法

将在上积分，

，得

用数值办法求上述积分。;;，得，称之为Euler公式。

，得

称之为后退Euler公式。

，得

称之为梯形公式。;(2)改进Euler办法

Euler公式计算简便，但精度差，梯形公式为隐式，计算较复杂，但精度较高，可将两者结合。

称为改进Euler公式，上式也可写为;;例用Euler公式和改进Euler公??求解初值问题

此问题准确解为。

Euler公式：;改进Euler公式：;Euler办法计算结果;改进Euler办法计算结果;下面用Euler公式和改进Euler公式求解本问题。

由(1)(2)两式得，;取时间步长，时导弹轨迹上点坐标为，则Euler格式为;当计算到时停止，故

或，。;改进Euler格式为;;(3)仿真办法（模型检查）

假如建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而难以作出数值处理，经常能够用仿真办法，即模仿真实事件行为和过程办法。在本问题中，就是在计算机上通过相应程序和软件来一步步地模拟导弹追踪敌舰实际过程。;;设导弹和敌舰在初始时刻分别位于

和，此时,导弹指向。在时，导弹位置为，其中，敌舰位置为。这时导弹沿方向飞行，倾角为

在时，导弹位置为，其中;

此时敌舰位置为，导弹沿