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数学不可思议力量举例——纠结的纽结
数学在物理学中的作用表现在“主动”和“被动”两个方面。主动的一面是指当科学家解释物理现象出现问题时,数学会照亮其前进的道路,比如牛顿为解释万有引力而创建微积分。被动型的一面则更加不可思议:本来数学理论的研究只是基于单纯的其他原因,从没考虑过其实际应用,只是在过了若干年后才猛然发现,这些理论竟可
以解释物理现实——《数学沉思录》
关于数学的被动型,是最为让人称奇的,我在《数学力量的疑问》一文中已经已经解释并且举例说明过。要说举例来说明数学的被动作用,纽结理论再好不过,因为纽结理论既有主动的一面又有被动的一面,简直让人荡气回肠,回味无穷。虽然关于纽结理论本
身是那么地高深。
纽结理论的历史并不长,与微积分差不多年纪,不过关于“纽结”一词的历史,那却是很久以前的事情,甚至在神话故事就已有知,那就是著名的戈尔迪亚斯结。在弗吉利亚人中一直流传一条神谕,乘着一辆牛车进入弗吉利亚的第一个人将是他们的下一任王,恰好农民戈尔迪亚斯驾着一辆牛车进入了都城,因此他成为了国王。出于感恩,戈尔迪亚斯将他的牛车敬献给上帝,并挽了一个极其复杂
的结,把这辆牛车系在了一根柱子上。之后不久,不知为何又有一条神谕在弗吉利亚流传,说打开这个结的人将成为亚细亚王。最终打开这个结的人是亚历山大大帝,后来也的确成为了亚细亚的主宰
者,只不过他是用他的剑将结斩成了两段……
真正从数学理论研究纽结的人是范德蒙德,往后就是高斯以及19世纪的其他数学家。不过真正激发纽结理论研究狂潮的,是汤姆逊试图解释物质基本结构,因为根据他的推测,原子是打结的以太
习惯,而当时认为以太是充满整个宇宙的,所以如果汤姆逊的理论
成立的话,那么通过纽结的多样性就可以解释化学元素的多样化了。要知道纽结的稳定性和多样性可是原子模型的本质和核心因素。对
纽结理论的研究正是在这样一个美好憧憬下进入狂热。
但没过多久,汤姆逊的原子论被确认是一种错误,被科学家扔
进科学的垃圾篓。然而从中发展起来的纽结理论却没有消失,相反,人们对它的兴趣有增无减,很显然此时对纽结的研究已经没有任何
实用目的,人们研究它仅仅是因为好奇而已,在很长一段时间里,
对纽结理论的研究重心集中在“寻找能描述不同结的变量”里。
一直到20世纪60年代,美国的康威发现一种逐步“解开”纽结的办法,下图展示了这一过程(图片直接选自《数学沉思录》一
书):
书):
看起来很像亚历山大的快刀斩乱麻,不过康威可是从数学上将
看起来很像亚历山大的快刀斩乱麻,不过康威可是从数学上将
这个过程弄成一种运算。在
这个过程弄成一种运算。在1984年,美国的琼斯从冯·诺依曼代数
中获得灵感,建立起了描述不同纽结的特征多项式,纽结理论的研
中获得灵感,建立起了描述不同纽结的特征多项式,纽结理论的研
究进入高潮,并且人们发现琼斯的理论不仅可用于纽结理论,统计
究进入高潮,并且人们发现琼斯的理论不仅可用于纽结理论,统计
力学、量子群论等都能用,全世界的科学家都为之振奋,至此以后,
力学、量子群论等都能用,全世界的科学家都为之振奋,至此以后,
用于描述纽结理论的许多不变量如雨后春笋般建立起来,最近的不
用于描述纽结理论的许多不变量如雨后春笋般建立起来,最近的不
变量是由法国的一位数学家发现,他因此获得
变量是由法国的一位数学家发现,他因此获得1998年的菲尔兹
奖。
奖。
不过纽结理论的发展过程还不算惊讶,就算是经过多年发展,数学家们也只是将其当做爱好来研究,没有想过它还有什么实用价值,因为他唯一的现实来源——汤姆逊的原子结构——早已被确定是错误。但是极富戏剧性的是,数学家们也绝对没有想到,纽结理
论在许多学科中都出现了。
第一个要说的,就是对DNA的研究。DNA是认识生命本身的关键。我们从中学生物就已经知道,细胞分裂的过程分为复制和转录两个过程,然而DNA是非常紧密的缠绕在一起的,这是为了压缩信息存储空间,因而除非对其进行拆解,否则复制过程无法进行,并且后代一定不能打结。解开这种纽结的活性因子是一种生物酶,
酶让DNA链暂时断开,让一条链穿过另一条链,并且让不同的终端重新连接起来,这个过程太熟悉了!这恰好就是康威为了解开纽结所使用的方法。康威怎么也没有想到,他其实已经在重复着人体最伟大的生命过程!
当然分子生物学不是纽结理论应用的唯一领域。人们一直在追求大统一理论,目前为止唯有弦论最有可能完成这一目标。弦论的
基本思想是,它认为基本的亚原子微粒并不是没有结构的点状实体,而是代表着“类似于琴弦的结构”在振动时的不同样式,宇宙中充满
了微小的,脆弱的像橡皮筋一样的环,当它们以不同频率振动时,
便展示出不同的物质微粒。换句话说,我们的世界就是一首交响乐。由于弦的这种闭合结构其实就是纽结,纽
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