数学实验大作业---数学曲面.docx

数学曲面

一、综述

（一）背景人物——高斯

高斯（JohannCarlFriedrichGauss）（1777年4月30日－1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并拥有数学王子的美誉。1792年，15岁的高斯进入Braunschweig学院。在那里，高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”（LawofQuadraticReciprocity)、质数分布定理（primenumertheorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometricmean)。1795年高斯进入哥廷根大学。1796年，19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。1855年2月23日清晨，高斯于睡梦中去世。

高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算。能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋。

高斯幼年时就表现出超人的数学天才。11岁时发现了二项式定理，17岁时发明了二次互反律，18岁时发明了正十七边形的尺规作图法，解决了两千多年来悬而未决的难题，他也视此为生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨不出来。他发现了质数分布定理、算术平均、几何平均。21岁大学毕业，22岁时获博士学位。1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台长。在成长过程中。幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希。弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成

为园丁或者泥瓦匠。

高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。

高斯在曲面研究领域也有成就，很多术语都以他的名字命名，如“高斯－博内公式”“高斯-邦尼公式”，曲面的总曲率又称为或“高斯曲率”。他还研究出著名的“高斯“极妙定理””：曲面的主曲率在无伸缩弯曲变形下要发生变化，因而不是内蕴的。但是，主曲率的乘积即总曲率K却在这样的弯曲变形下保持不变，也即曲面的总曲率是内蕴的。1828年他出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。

（二）曲面

曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹。产生曲线的动线（直线或曲线）称为母线；曲面上任一位置的母线（如BB1、CC1)称为素线，控制母线运动的线、面分别称为导线、导面，在下图中，直线L、曲面A1B1C1N1分别称为直导线和曲导线。根据形成曲面的母线形状，曲面可分为：直线面——由直母线运动而形成的曲面。曲线面——由曲母线运动而形成的曲面。根据形成曲面的母线运动方式，曲面可分为：回转面——由直母线或曲母线绕一固定轴线回转而形成的曲面。非回转面——由直母线或曲母线依据固定的导线、导面移动而形成的曲面。

曲面是微分几何研究的主要对象之一。直观上，曲面是空间具有二个自由度的点的轨迹。设r=(x,y,z）表示三维欧氏空间E3中