2022年江苏省南京师大附中特长生选拔数学试卷.docVIP

第PAGE1页（共NUMPAGES1页）

2022年江苏省南京师大附中特长生选拔数学试卷

一、解答题

1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．

2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．

3．解方程组．

4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，则∠EDC＝．

5．△ABC中，AB＝，AC＝，AD为∠BAC的平分线，则AD＝．

6．方程的正整数解（x，y）有组．

7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，则M的横坐标为．

8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后

9．已知．（其中x＞1）．

（1），求y与t的函数关系式；

（2）求y的最大值．

10．已知，b为a的小数部分的相反数，求a3+b3+18ab．

11．求方程x2+9xy+14y2+2x+9y﹣10＝0的整数解（x，y）．

2022年江苏省南京师大附中特长生选拔数学试卷

参考答案与试题解析

一、解答题

1．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6．

【解答】解：x3﹣2x8﹣5x+6

＝x6﹣3x2+（x7﹣5x+6）

＝x8（x﹣3）+（x﹣3）（x﹣6）

＝（x﹣3）（x2+x﹣7）

＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）．

2．已知，求（4x3﹣2025x﹣2022）3．

【解答】解：∵，

∴＝，

∴（2﹣2x）2＝8﹣4x+4x4＝2022，

∴4x2﹣5x＝2021，

∴原式＝[（4x3﹣7x2）+（4x6﹣4x）﹣2021x﹣2022]3

＝（2021x+2021﹣2021x﹣2022）2

＝（﹣1）3

＝﹣4．

3．解方程组．

【解答】解：，

②+3×①，得x3+6x2y+3xy2+y3＝﹣19+18．

∴（x+y）3＝﹣3．

∴x+y＝﹣1．

由x+y＝﹣1得x＝﹣5﹣y③．

把③代入①，得﹣（﹣1﹣y）×y＝6．

∴y2+y﹣6＝0．

解这个方程得y6＝﹣3，y2＝3．

把y1＝﹣3，y4＝2代入③，得x1＝5，x2＝﹣3．

∴原方程组的解为，．

4．如图△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，则∠EDC＝20°．

【解答】解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝x+y，

则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴2x+y＝y+40，

解得：x＝20，

∴∠EDC＝20°．

故答案为：20°．

5．△ABC中，AB＝，AC＝，AD为∠BAC的平分线，则AD＝．

【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，CG⊥AB于点G，

则∠DEA＝∠CFA＝∠CGA＝90°，

∵∠BAC＝60°，AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴DE＝ADAC＝×＝，

在Rt△ACG中，sin∠GAC＝，

∴CG＝AC＝×，

∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，

∴AB?DE+AB?CG，

∴AB?DE+AD?CF＝AB?CG，

即×AD+×1，

解得：AD＝，

故答案为：．

6．方程的正整数解（x，y）有3组．

【解答】解：∵，

去分母得：8y+xy＝2x，

∴（x+8）（y﹣8）＝﹣64，

又∵x与y是正整数，两整数之积为﹣64，

∴存在三种情况：

①，

解得：；

②，

解得：；

③，

解得：．

故方程的正整数解（x．

故答案为：3．

7．如图，B，C的坐标分别为（﹣5，0）和（5，0），AB﹣AC＝6，则M的横坐标为3．

【解答】解：如图，设△ABC的内切圆⊙O与BC、AB分别相切于点D、Q、P，

∵AP＝AQ，BP＝BD，

∴AB﹣AC＝AP+BP﹣（AQ+CQ）＝AQ+BD﹣AQ﹣CD＝BD﹣CD，且AB﹣AC＝6，

∴BD﹣CD＝6，

∴BD＝CD+6，

∵B（﹣5，0），5），

∴BD+CD＝BC＝5﹣（﹣5）＝10，OC＝5，

∴BD＝10﹣CD，

∴CD+6＝10﹣CD，

∴CD＝7﹣3，

∴OD＝OC﹣CD＝5﹣（5﹣3）＝3，

∴D（5，0），

∵MD⊥x轴，

∴M的横坐标为5，

故答案为：3．

8．在直角三角形中，三边长均为两位正整数，其中一条直角边长的十位与个位交换位置后

【解答】解：设斜边为10a+b，则有一直角边为10b+a，其中a，m为两位正整数，

由勾股定理得，m2＝（10a+b）2﹣（10b+a）4＝（11a+11b）（9a﹣9b）＝72×11（a+b）（a﹣b），

由3≤a+b≤17，2≤a﹣b≤8（奇偶性要相同），

解得，

∴斜边的长为65．

9．已知．（其中x＞1）．

（1），求y与t的函数关系式；

（2）求y的最大值．

【解答】解：（1）

＝

＝

＝

＝

＝，

∵，