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等比数列学案

等比数列学案全文共1页，当前为第1页。等比数列学案

等比数列学案全文共1页，当前为第1页。

第4课时等比数列的综合应用

知能目标解读

1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.

2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.

重点难点点拨

重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.

难点：错位相减法求和的应用.

学习方法指导

如果数列{an}是等差数列，公差为d;数列{bn}是等比数列，公比为q,求数列{anbn}的前n项和，可以运用错位相减法.方法如下：

设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,当q=1时，{bn}是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+…+an)=;当q≠1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+…+bn?(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d?

-anbn+1,

所以Sn=.

知能自主梳理

1.在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.

2.若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn-A(A≠0，q≠0且q≠±1)，则等比数列学案全文共2页，当前为第2页。数列{an}是

.

3.在等比数列{an}中，Sn为其前n项和.

(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+);

(2)当q≠-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+).

［答案］1.Aqn-A

2.等比数列

3.不是等比数列是等比数列

思路方法技巧

命题方向等比数列性质的应用

［例1］(1)等比数列{an}，已知a1=5，a9a10=100，求a18；

(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积；

(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.

［分析］由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.

［解析］(1)∵a1a18=a9a10,

∴a18===20.

(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.

∵b24=b1b7=b2b6=b3b5,

∴前七项之积为(32)3×3=37=2187.

(3)解法一：a8=a5q3=a5?=54×=-1458.

等比数列学案全文共3页，当前为第3页。解法二：∵a5是a2与a8的等比中项，

∴542=a8×(-2).

∴a8=-1458.

［说明］本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,l∈N+且m+n=k+l，则am?an=ak?al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.

变式应用1已知{an}是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.

［解析］∵a4?a7=a1?a10,∴a4a7=243,

a4=81a4=3

又a4+a7=84,∴，或

a7=3a7=81

∴q=或q=3.

∴a11=3q4=3×（）4=或a11=81×34=6561.

命题方向与前n项和有关的等比数列的性质问题

［例2］各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于

（）

A.150B.-200C.150或-200D.400或-50

［答案］A

［分析］本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.

等比数列学案全文共4页，当前为第4页。［解析］解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q≠±1.

=10①

由，

=70②

由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入①有=-10，

∴S40==-10×(-15)=150.

解法二：易知q≠±1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则

S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，

即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），

∴S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.

解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，

∵S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10

从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).

∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150.

解法四：易知q≠±1,∵=，∴q20+q10-6=0,

解得q10=2或q1