2011-2012学年合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷和参考答案.docVIP

PAGE1

年第二学期期末考题解答

一.填空题(每小题3分,满分15分)

1.过直线且垂直于平面的平面方程是_________．

【解】应填：．

直线的方向向量．已知平面的法向量，设所求平面的法向量为，由题意知且，故可取

，

由条件知，所求平面过点，

于是所求平面方程为

，

即

．

2.设，则．

【解】应填：．

由，两边求全微分，得

，

当时，代入原方程得，

所以

．

3.椭圆抛物面：在点处的法线方程是___________.

【解】应填：.

曲面在点处的法向量可取为

，

于是曲面在点处的法线方程为

.

4.曲面与所围立体的体积为．

【解】应填：．

．

5.设为上半圆周，则曲线积分=．

【解】应填：．

由对称性，代入技巧及几何意义可得

二.选择题(每小题3分,满分15分)

1．方程的特解形式为（）．

(A)(B)

(C)(D)

【解】选（D）

2.设，则级数（）．

（A）与都收敛（B）与都发散

（C）收敛，而发散（D）发散，而收敛

【解】选（C）

3．二元函数的两个偏导数，在点处都连续是在点处可微分的（）

(A)充分条件(B)必要条件

(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件

【解】若，在点都连续，则在点处可微分，

选(A)

4.（）

（A）（B）（C）（D）

【解】原积分．选（B）

5.设，则周期为的函数的傅立叶级数在处收敛于．

（A）（B）（C）（D）

【解】选(A)

三.(10分)设，其中有二阶连续偏导数，有二阶导数，求．

【解】根据复合函数求偏导公式得

,

四.(10分)求在闭区域：上的最大值和最小值．

【解】在D的内部，

为驻点，且

在D的边界上，

由

，此时，，则有

比较上述函数值知，

函数在上的最大值为4,最小值为-1．

五.(10分)求微分方程的通解.

【解】不显含，故令则，代入原方程得，

利用通解公式求得通解为

，

积分得原方程通解为

．

六.(12分)（Ⅰ）试确定可导函数，使在右半平面内，为某函数的全微分,其中；（Ⅱ）求；

【解】（Ⅰ），．

因为是函数的全微分，所以有，

即

，

故

．

上述微分方程的通解为

.由得,

所以

．

（Ⅱ）在右半平面内取，则

．

七.(12分)求幂级数的收敛域及和函数．

【解】易求得其收敛域为，令

，其中，

两边积分

，

再积分

．

因此

，

故原级数的和

，．

八.(12分)计算积分，其中是抛物面，取下侧．

【解】补取上侧,

设与围成空间区域,及在平面上的投影区域.

由Gauss公式，

.

因为垂直于平面，在平面上的投影区域面积为零，

所以.

九.(4分)设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数．证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；

【证明】将分解为：，另作一条曲线围绕原点且与相接，则

．