微积分导数的概念及运算法则课件.pptVIP

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第二章导数与微分第1节导数概念2

导数概念导数产生的背景导数定义求导举例导数的几何意义可导与连续的关系3

一.导数产生的背景1.物理背景2.几何背景4

1.物理背景变速直线运动物体作匀速直线运动时,有,这一速度其实是物体走完某一段路程由于匀速运动的平均速度，平均速度记作V.物体的速度是不变的，因此5

由于变速直线运动物体的速度V(t)是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻t的瞬时速度V(t).000?S如何求V(t)???如图0S(t0)S(t+?t)0在[t,t+?t]这段时间内物体的平均速度为00V(t)=?00?t越小，近似值就越接近精确值V(t).6

2.几何背景—平面曲线的切线问题平面曲线上切线的概念切点切线PT7

定义平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点A(x,y)处的切线AT为过曲线上00点A的任意一条割线AA’当点A(x+?x,y+?y)’00沿曲线趋近于点A时的极限位置.切线方程:其中,8

小结解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(1)建立一个函数关系y=f(x)x?I.(2)求函数由x到x+?x的平均变化率：00(3)求?x?0的极限：9

二.导数的概念1.导数的定义定义设函数f(x)在U(x)有定义,且x+?x?U(x).000存在,如果极限则称函数f(x)在点x处可导,极限值a称为f(x)在0点x处的导数.记为010

如果函数f(x)在点x处可导,则011

注1.若存在，则称f(x)在x可导(或称f(x)在x的导数存在).00否则，称f(x)在x不可导(或称f(x)在0x0的导数不存在).特别12

2.左、右导数设函数f(x)在[x,x+?)内有定义,若定义00则称a为f(x)在点x处的右导数.记为0设函数f(x)在(x-?,x],内有定义,若00则称a为f(x)在点x处的左导数.记为0定理13

3.导函数定义若?x?(a,b),函数f(x)皆可导,则说f(x)在(a,b)内可导.这时f?(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：14

定义若f(x)在(a,b)内可导,且存在,则称f(x)在[a,b]上可导,f?(x)称为f(x)在[a,b]上的导函数,简称为导数.函数在点x?I处的导数:0先求导、后代值.15

4.求函数的导数1.写出函数的增量求导数可分为如下几步：3.求极限2.算比值16

17

例118

?和差化积等价无穷小或重要极限?（仿照正弦函数的推导方法）19

??20

(x)=?x??1?21

总结22

5.导数的几何意义函数f(x)在点x的导数f?(x)就是对应的平面`00曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线的斜率k:00此时,切线方程为:23

曲线y=f(x)在点x处的切线可能平行于x轴、0垂直于x轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线平行于x轴：（曲线为连续曲线）f?(x)不存在.切线垂直于x轴：在点x处无切线：0024

f?(x)=0f?(x)=?00yyy=cx0x0OxOxf?(x)不存在f?(x)不存在00yyx0Oxx0Ox25

求曲线y=x上任意一点处切线的斜率,并求2例2在点(1,1)处的切线方程.在任意一点x处,有解在点(1,1)处y–1=2(x–1),即y=2x–1.故所求切线方程为：26

设f(x)在点x可导,即有0于是故无穷小只是必要条件！27

y=|x|在点x=0连续,但不可导.例3yy=|x|解Ox故f?(0)不存在.28

例4在点x=0处的连续性和可导性.解又?当n?N时,函数在在点x=0处连续.29

当n=1时,不存在,故n=1时,函数在x=0处不可导.当n1时,故n1时,函数在x=0处可导.其导数为30

a+bx,x0练习y=在x=0可导,设e,x0–x求a,b之值.解?f(x)在x=0处可导,?f(x)在x=0处连续,f(0)=a.1+bx,x≤0e,x0从而