适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练18利用.docVIP

课时规范练18利用导数证明不等式

1.已知函数f(x)=aex-ex.

(1)若对随意的实数x都有f(x)≥0成立,求实数a的取值范围;

(2)当a≥1且x≥0时,证明:f(x)≥(x-1)2.

2.已知函数f(x)=(x-1)ex,g(x)=ax2+xlnx-12

(1)推断是否存在实数a,使得g(x)在x=1处取得极值?若存在,求出实数a;若不存在,请说明理由;

(2)若a≤12,当x≥1时,求证:f(x)≥g(x)

3.已知函数f(x)=ex-asinx-x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0.

(1)求实数a的值;

(2)证明:?x∈R,f(x)0.

4.(2024山东威海三模)已知函数f(x)=2lnx-x+ax

(1)当a=34时,求f(x

(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1x2,从下面两个结论中选一个证明.

①f(x

②f(x2)23a+2ln2-2

5.已知函数f(x)=sin2xsin2x.

(1)探讨f(x)在区间(0,π)的单调性;

(2)证明:|f(x)|≤33

(3)设n∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤3n

6.已知函数f(x)=(x+1)lnx.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)证明:ln21+ln76+…+ln(n2-2

课时规范练18利用导数证明不等式

1.(1)解若对随意的实数x都有f(x)≥0,即aex-ex≥0,

所以a≥ex

令g(x)=exex,则g(x)

令g(x)=0得x=1.

当x1时g(x)0,函数g(x)单调递增;当x1时g(x)0,函数g(x)单调递减,所以g(x)在x=1处取得极大值亦即最大值g(1)=1,即a≥1.故实数a的取值范围是[1,+∞).

(2)证明因为当a≥1且x≥0时,f(x)=aex-ex≥ex-ex,所以只需证明ex-ex≥(x-1)2,

只需证明(x-1)2

设h(x)=(x-1)

则h(x)=(x

令h(x)=0,得x=3-e或x=1.

所以当0≤x3-e时,h(x)0,h(x)单调递减;当3-ex1时,h(x)0,h(x)单调递增;当x1时,h(x)0,h(x)单调递减.所以当x=1时,h(x)有极大值h(1)=0.

又因为h(0)=0,所以当x≥0时,必有h(x)≤0,故原不等式成立.

2.(1)解假设存在这样的实数a,则有g(1)=2a+1=0,解得a=-12

当a=-12时,g(x)=-x22+xlnx-12,则g(x)=-x+

令t(x)=-x+lnx+1,x0,

则t(x)=-1+1x

令t(x)=0,得x=1.

当0x1时,t(x)0;

当x1时,t(x)0,

所以t(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,

所以t(x)max=t(1)=0,即g(x)≤0,

所以函数g(x)在区间(0,+∞)上为减函数,

因此不存在这样的实数a.

(2)证明因为x2≥0,a≤12,所以ax2≤12x

要证f(x)≥g(x),

即证(x-1)ex≥12x2+xlnx-1

即证(x-1)ex-12x2-xlnx+12

令m(x)=(x-1)ex-12x2-xlnx+12,x≥1,则m(x)=xex-x-lnx-1=ex+lnx-(x+lnx)-

令t=x+lnx,t∈[1,+∞),h(t)=et-t-1,则h(t)=et-1.

因为当t≥1,h(t)0,所以函数h(t)在区间[1,+∞)上单调递增,

所以h(t)min=h(1)=e-20,所以m(x)0,

从而得函数m(x)在区间[1,+∞)上单调递增,

所以m(x)min=m(1)=0,

所以m(x)≥0,即f(x)≥g(x)得证.

3.(1)解由f(x)=ex-asinx-x,得f(x)=ex-acosx-1.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y-1=0,所以f(0)=-1,即1-a-1=-1,解得a=1.故实数a的值为1.

(2)证明由(1)知f(x)=ex-sinx-x,要证明?x∈R,f(x)0,需证明ex-xsinx.

令g(x)=ex-x,则g(x)=ex-1,

令g(x)=0,得x=0.

因为当x0时,g(x)0;

当x0时,g(x)0,

所以函数g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=1,即?x∈R,ex-x≥1,所以ex-x-sinx≥1-sinx≥0,两个等号不同时成立,所以ex-xsinx,所以?x∈R,f(x)0.

4.解由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=2x-1-a

(1)当a=34时,f(x)=-x2+2x

令f(x)0,得12