人教A版普通高中数学一轮复习第三章第二节第3课时利用导数证明不等式－－构造法证明不等式学案.docx

第3课时利用导数证明不等式－－构造法证明不等式

移项作差构造函数证明不等式

【例1】(2024·邢台模拟)已知函数f(x)＝x(lnx＋a)．

(1)求f(x)的单调区间；

解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1＋a.令f′(x)＝0，得x＝e－a-1.

令f′(x)＜0，解得0＜x＜e－a-1；

令f′(x)＞0，解得x＞e－a-1.

所以f(x)的单调递减区间为(0，e－a-1)，单调递增区间为(e－a-1，＋∞)．

(2)证明：当a≥1时，f(x)＜aex－1.

证明：令φ(x)＝f(x)－aex＋1＝a(x－ex)＋xlnx＋1(x＞0)，k(x)＝x－