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北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期统练四数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量满足，则（????）

A． B．0 C．5 D．7

2．是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（????）

A． B．弧的长为

C．扇形的面积为 D．等边三角形

3．如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（???）

A． B．

C． D．

4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数的最大值为，则的值不可能为（????）

A． B．

C． D．

5．“”是“为第一或第三象限角”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．关于函数，给出下列三个命题：

①是周期函数；②曲线关于直线对称；

③在区间上恰有3个零点.④最小值为-2

其中真命题的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在中，，则（????）

A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角

8．在中，是的中点，则的取值范围是

A． B． C． D．

9．已知，则下列说法错误的是（????）

A．若在内单调，则

B．若在内无零点，则

C．若的最小正周期为，则

D．若时，直线是函数图象的一条对称轴

10．在中，，，点在边上，且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、填空题

11．若.的虚部.

12．已知中，，则.

13．在中，，满足此条件有两解，则边长度的取值范围为.

14．已知，则＝

15．设的内角所对边的长分别为

①若，则；

②若.则；

③若，则一定为等腰直角三角形；

④若，则一定为钝角三角形；

⑤若，则一定为锐角三角形.

则上述命题中正确的是.（写出所有正确命题的编号）

三、解答题

16．在平面直角坐标系中，为原点，

(1)在直线上的投影是，求

(2)若四边形是以为底的直角梯形，求点

17．在中，

(1)求；

(2)若为边上一点，再从条件①?条件②?条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：的周长为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

18．已知函数的图象上所有点向右平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称.

(1)求的值；

(2)设，若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.

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参考答案：

1．C

【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.

【详解】因为，所以，

故.

故选：C

2．D

【分析】求出面积取最大值时，再逐项分析判断即得.

【详解】面积，当且仅当，

对于A，，A正确；

对于B，弧的长为，B正确；

对于C，扇形的面积为，C正确；

对于D，是等腰三角形，不是等边三角形，D错误.

故选：D

3．B

【分析】过作于，由题意得到，，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果.

【详解】

如图：过作于，则由题意可得：，，

在中，，

所以，

∴.

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角函数的应用，以及判断三角函数的图像，属于常考题型.

4．D

【分析】根据图象的平移变换得到，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到，最后根据三角函数的性质求的范围即可.

【详解】由题意得，

则

，，

因为，所以，所以.

故选：D.

5．C

【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.

【详解】因为时，则，

所以为第一或第三象限角，

反之，当为第一或第三象限角时，，所以，

综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件，

故选：C

6．D

【分析】根据周期的定义和对称性的定义，判断①②，根据三角函数恒等变换，将零点问题转化为方程的实数根问题，判断③，函数化简为关于的二次函数求最值，判断④.

【详解】①，

即，所以是周期函数，故①正确；

②，即，

所以函数关于对称，故②正确；

③，即，得或，

，所以或或，所以函数有3个零点，故③正确；

④，，

当时，取得最小值，