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USTC概率论习题课讲义(试用版)

2022秋、2023春-刘党政班

作者：宗语轩

时间：2023年8月

版本：0.6

ProbabilityTheoryisMeasureTheorywithaSoul.——MarkKac

前言

概率论,是研究随机现象并揭示随机现象中的结构和规律的数学分支,同时也为统计理论与方法提

供理论基础.概率论起源于17世纪帕斯卡与费马有关机会性游戏的研究,后经伯努利,拉普拉斯,棣莫

弗,高斯与李雅普诺夫等人的发展,出现了一般形式的大数定律与中心极限定理.1933年Kolmogorov在

其专著《概率论基础》中提出的基于测度论的概率公理化体系,标志着现代概率论的建立.之后受数理

金融与统计力学发展的驱动,Lévy，Ito，Doob等人发展了随机过程理论,形成了如今完善的鞅论与随机

分析.其后概率论及其应用一直蓬勃发展,同时也一直与其他数学分支及其他学科领域相互交叉渗透.

直至现在,概率论已成为一门能够“顶天立地”的学科.

在2022年秋季学期,笔者有幸担任刘党政老师班级的概率论课程助教,也是笔者首次担任小班教

学课程的助教.在笔者担任助教期间,发现不少同学尤其在期中之后的概率论学习出现一定困难.一方

面,概率论本身内容比较杂,很多概念初学起来并不容易理解,以及大部分同学初学概率论都会有“琐

碎”之感,尤其体现在处理概率问题中运用的各种技巧和技术上,因此,初学概率论时出现瓶颈也是非常

正常的现象.另一方面,很多同学自始至终对概率空间的理解不够深刻，以及对分析中最常见最基本的

technique和最基本的测度论知识不熟悉,从部分同学的作业和考试中也体现出概念使用混乱,概率语言

不会表述或表述不当等问题.基于笔者担任助教期间的积累,同时为了让后人更好地适应课程体系,加

深概念理解,总结及延伸一些重要的technique及idea,并适当开拓视野,笔者在原有的习题课讲义基础

上编写了此份《USTC概率论习题课讲义》合集.

本课程对应的教材内容为:Grimmett,Stirzaker:ProbabilityandRandomProcess,Chapter1-3,4.1-4.10,

5.1,5.6-5.10,7.1-7.6.本讲义的内容编排基本参照教材内容的顺序,但也补充了一部分拓展知识.另外,

由于科大数院的本科培养方案进行了改革,至2022年春季学期起,本课程从原有的4学分调整至现在

的3学分,因此现在的3学分课程在原有的4学分课程的基础上主要在随机游走、正态分布下的样本均

值与样本方差、矩方法与组合计数、用Linderberg替换术证明Linderberg-Feller中心极限定理、熵、随

机矩阵初步等内容以及一些例子上作了删减(其中一部分内容会放在1学分的课程概率论进阶中讲授).

但笔者认为这些删去的大部分内容都是概率和统计甚至和其相关方向中比较重要的内容及idea,因此

这些删去的内容也补充至本讲义中,特此说明.

本讲义以“专题选讲”的形式为大家呈现.由于本讲义是习题课讲义,从定位上可以看作课堂内容

的补充、延伸和拓展,同时也结合各位读者的需求,笔者在讲义的编排上主要分为“基本内容”、“进阶内

容”两部分:

基础内容主要侧重于课堂内容的整理或补充,包括课堂内容的整合加工,以及对已学过的概念进

行适度延伸等,有助于对课堂内容进一步理解以及知识框架的建立;除此之外,还补充了一些基本

的工具及从所学内容延伸出的一些方法、technique或idea,这也是笔者认为大家需要了解的部分.

进阶内容主要侧重于课堂内容的拓展.一部分是一些既与课内相关度较大,又和其他领域有一定

关联的“趣味”问题,这部分所涉及到的知识点和证明的技术使用往往会比较综合,旨在让读者了

解概率论在其他领域上的一些“渗透”现象.还有一部分是从课内内容出发拓展一些实实在在的

知识或方法,不仅对这些内容有助于更深刻的理解,同时也跟概统的后续课程起到了过渡和衔接

的作用.

此外,在一些章节最后补充了适量的练习题,大家要做到合理选用.部分练习题提示与解答附在本