人教A版普通高中数学一轮复习第三章学科特色规范解答系列(一)利用导数研究函数问题学案.docx

(12分)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当a＞0时，f(x)＞2lna＋32

思维拆解

规范解答

阅卷细则

第一步：求导．

第二步：对a分类讨论，判断f′(x)的符号，得函数f(x)的单调性．

第三步：利用(1)的结论，求函数f(x)的最值．

第四步：构造函数g(a)＝1＋a2＋lna－2lna－32

第五步：求函数g(a)的最小值，得结论．

(1)解：f′(x)＝aex－1，1分

当a≤0时，f′(x)＜0，

所以函数f(x)在R上单调递减．2分

当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞－lna；

令f′