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数学建模与软件开发模拟试题

试题1 编写MATLAB程序 已知六阶矩阵M的位置权得分表示为

10 8 6 4 2 1

10? ?

? ?

8? ?

6? ?

6

? ?

4? ?

2? ?

2

? ?

1? ?

1

? ?

现产生六组A,B,C,D,E,F的随机排列填充在该矩阵内，使得对于六个字母的合计得分尽可能的接近。

可以写成一个矩阵，六个A分别赋值：1,2,3,4,5,6，同样，其他字母的六个也分别赋值：1,2,3,4,5,6.

试题2 编写MATLAB计算程序（或其他语言如C++），并计算地下水水质评价结果

完成下述算法：如下：

投影寻踪方法的基本思想是把高维数据通过某种组合投影到低维子空间，用低维空间中投影散点的分布结构揭示高维数据的结构性特征。其建模过程一般包括以下5个步骤：

投影指标的归一化处理。设各指标的样本集为{x*(i,j)|i=1,2,...p},其中x*(i,j)为第i个样本第j个指标值，n,p分别为样本的个数和指标的数目。为消除各指标值的量纲和统一各指标值的变化范围，可采用下式进行归一化处理：

其中x

max

(j)，x

(1)

(j)分别为第j个指标值的最大值和最小值，x(i,j)为指标

min

特征值归一化值。（A）（B）式分别是对越大越优的和越小越优的指标。

构造投影指标函数。把x(i,j)投影到投影方向a上，设a=(a(1),a(2),..,a(j))，a为单位长度向量，投影值z(i)为：

Z(i)= ?p

j?1

a(j)x(i,j) (i=1,2,…，np为指标的个数) (2)

为了在多维指标中找到数据的结构组合特征，在综合投影时，要求投影值z(i)尽可能多地提取x(i,j)中的变异信息，即z(i)的标准差Sz尽可能大，同时投影值z(i)的局部密度Dz达到最大。所以，投影目标函数可构造为:

Q(a)=Sz*Dz (3)

s ?[?p

z

i?1

(z(i)?Ez)2/(n?1)]1/2 (4)

zD=?n?n

z

(R?r

ij

)u(R?r

ij

) (5)

i?1j?1

其中Ez为Z(i)(i=1～n)的均值，距离rij=|z(i)-z(j)|，R一般可取值为b*Sz，依据投影点z(i,j)在区域间的分布情况b可选取为0.1、0.01、0.001等（具体取

哪个值大家根据投影效果自己确定）。u为单位阶跃函数，当R-rij≥0时其函数值为1，当R-rij0时其函数值为0。

优化投影指标函数。不同的投影方向反映不同的数据结构特征，最佳

投影方向就是最大的可能暴露高维数据某类特征结构的投影方向。可通过求解投影指标函数Q(a)最大化来估计最佳投影方向，即

Max Q(a)=Sz*Dz (7)

s.t. (8)

这是一个以a(j)为优化变量的复杂非线性优化问题。（提示：此处就是一个非线性规划问题，可以利用MATLAB优化工具箱、lingo或遗传蚁群等算法加以解决）

分类或排序。把最佳投影方向a代入(2)式得各样本的投影值z(i)，据此可对样本进行分类、等级评价或预测等。

针对下面实例进行MATLAB编程计算：已知地下水水质评价国家标准值为：

地下水水质评价国家标准值

等级因子

总硬度

溶解性总固体

CL-

SO42

1 150

300

50

50

2 300

500

150

150

3 450

1000

250

250

4 500

2000

350

350

计算该标准值的最优投影指标和最优投影方向；又抽样获得待评水质样本如下表：

序号 总硬度

溶解性总固体

CL-

SO2-

198.72

1

98.72

195.4

18.73

1.87

2

83.82

169.73

7.64

36.61

3

15.83

113

41.76

21.64

4

239.51

377.48

59.98

99.82

5

293.1

497.09

76.48

122.02

6

278.44

483.49

52.15

138.56

7

441.18

823.47

212.99

191.98

8

351.22

651.78

155.65

204.42

9

485.46

1569.30

330.81

267.42

10

473.56

1270.10

277.79

345.41

z(i) 等级y(i)

使计算该组样本的投影指标z(i)，并确定水质等级。