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2023年浙江高中数学竞赛夏令营试题

测试时间7月19日8：30-10：30

1.集合A=nlgn-^,nGN的所有元素之和为。

2.2.+J的展开式中x的系数为。

3.设圆x2+y2=9的弦A8的中点坐标为(1,1),直线A8交尤轴于点P,则

|b4|-|pb|=o

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4.已知a.f3gR,且cosa+cos”=—,tan0+)=—，贝0sinor+sin/3=

.已知圆。的直径A8把圆分成上下两个半圆，C,D分别在上、下半圆上(都不与

48重合)。若AC=2,AD=1,则ABDC=

6.已知正四棱柱ABCD-A^C.D.的底面变成为2,侧棱长为4,E为棱C。的中点,

尸为棱AAi的中点，则点。道平面EFB］的距离为

7.若z为复数,且|z|=l,则的最大值为

y[2-z

8.已知｛%｝和｛如｝均为等差数列,且61=32,31=43。令G=(-1)•(%-如),数列

｛%｝的前10项和为5,前13项和为-5,则数列也〃｝的前100项和为o

9.已知A8C。为四面体，以等概率对每条棱染红色或蓝色。试问点A可以通过四面体

上的红色棱边到达点B的概率为o

10.已知函数f⑴,g(x)是定义在7上的周期函数，且它们在区间［-1,1］上单调递增，下

列陈述:

A.fOO+gCx)为周期函数

B./(x)+g(x)-|/(x)-g⑴|在区间［-1,1］上单调递增

C./(g(x))在区间［-U］上单调递增

D./(x)+g(jc)+/(-x)+g(~x)为偶函数

正确的是O

11.已知数列an1=3an-a^-l(n=1,2,…),％=q。则下列陈述：

A.若则。“严格单调递减

3*

B.若2=—,则对任意neN,有ql

ko11

c.若1=3,则存在正整数幻使得£-

〃=1q-22

「3I

D.已知数列=3%+化(〃=1,2,=1,若ke,0,则数列｛%｝有界

正确的是O

12.已知工为实数，且满足521+3125=5牧一/,则工最小值和最大值之和为o

13.已知锐角A4BC中，ZAZBZC,ZA+ZC=2ZB,AB=4,BC=,则AABC的

面积最大内接正方形边长为o

14.已知椭圆C：—y2=1的左、右焦点分别为F\,F2,设F是第一象限内椭圆。上的一

点，PF】、F%的延长线分别交椭圆于0、0点。则△S0、贤四的面积之差的最大

值为。

15.设实数尸满足尸3_—i=o,且r+V2为多项式尸3)=0的根。若〃3)的首项系数为

1,〃(入)为满足条件的整系数多项式中次数最低的，则p(x)=o

16.已知四面体A8CD中，面ABC和A8D的面积分别是4和7,两者之间的二面角为

60,则通过棱A8和四面体内切球的球心的截面面积为o

17.已知〃个正整数组成的集合中，任意两个元素的差要么恰好被5整除，要么恰好被25

整除，则〃的最大值为o

18.设为正整数，2023\则mn的最小值为。

19.一个蚂蚁在单位立方体以每秒1单位的速度沿棱运动，它从任一顶点起开始运动。假设

每次蚂蚁到达顶点处后转向各方向继续运动的概率相同(允许后转折返走动)，则其第一次

重返起点所需用的时间的数学期望为

20.可导函数f:(O，m)TR满足f(%)tanx(2sinx-l)/(x).若f则fgj

的最小值为