实验7定积分的近似计算市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptxVIP

试验7定积分近似计算内容提纲在实际问题中碰到定积分,被积函数往往不也许用算式给出,而只能通过图形或表格给出;或者即使能够用一个算式给出,但是要计算出它原函数却是很困难,甚至原函数也许是非初等函数,因而产生”积不出来”情况.这时就不能用牛顿-莱布尼茨公式来计算定积分,而需要考虑定积分近似计算问题.所谓定积分近似计算,就是找到一个适当计算公式,利用被积函数在积分区间上若干点处函数值,来计算定积分近似值,并且作出误差预计.第1页第1页

定积分近似计算我们知道,定积分(设f(x)0无论在实际问题中意义是什么,在数值上都等于曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成曲边梯形面积.因此,无论f(x)以什么形式给出,只要近似地算出相应曲边梯形面积,就得到了所给定积分近似值.这是定积分近似计算办法基本思想.我们简介两种惯用而简便定积分近似计算办法,所导出公式对于f(x)在[a,b]上不是非负情形也合用.第2页第2页

定积分近似计算梯形法梯形法就是把曲边梯形分成若干个窄曲边梯形,然后用窄梯形面积近似代替窄曲边梯形面积,把它们相加从而求得定积分近似值.详细办法下列:用分点a=x0,x1,…将区间分为个长度相等小区间,每个小区间长度为.设函数相应于各分点函数值为即(i=0,1,…,n).如图35所表示,每一个窄梯形面积为：第3页第3页

定积分近似计算从而有：公式(3)称为梯形法公式.下列我们来预计梯形法误差.第i个窄曲边梯形面积为：第4页第4页

定积分近似计算令则，并且当时，t=0,当时，t=1,于是当时，利用分布积分法能够证实：第5页第5页

定积分近似计算假如当时,,那么,第i个窄曲边梯形与相应窄梯形面积之差绝对值将有下列预计:第6页第6页

定积分近似计算抛物线法梯形法是通过用许多直线段分别近似代替本来各曲线段,即逐段地用线性函数近似代替被积函数,从而算出定积分近似值.为了提升准确度,能够考虑在小范围内用二次函数来近似代替被积函数,即用对称轴平行于y轴抛物线上一段弧来近似代替本来曲线弧,从而算出定积分近似值.这种办法称为抛物线法,也称为辛普森(Simpson)法.详细办法下列:第7页第7页

定积分近似计算用分点a=,将区间[a,b]分为n(偶数)个长度相等小区间,各分点相应函数值为.曲线y=f(x)也相应地被分为n个小弧段,设曲线上分点为我们知道,过三点能够拟定一条抛物线.于是在每两个相邻小区间上通过曲线上三个相应分点作一条抛物线,这样能够得到一个曲边梯形,把这些曲边梯形面积相加,就能够得到所求定积分一个近似值.由于两个相邻区间决定一条抛物线,因此用这种办法时,必须将区间[a,b]分成偶数个小区间.第8页第8页

定积分近似计算下面我们先来计算[-h,h]上以过点抛物线为曲边曲边梯形面积.首先,抛物线方程中p﹑q﹑r可由下列方程组拟定:由此得到于是所求面积为：第9页第9页

定积分近似计算这个曲边形面积仅与纵坐标及底边所在区间长度2h相关。第10页第10页