高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结.docx

二面角的求法

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

DC?SD?2，点M在侧棱SC上，?ABM=60°证明：M在侧棱SC的中点求二面角S?AM?B的大小。例1

DC?SD?2，点M在侧棱SC上，?ABM=60°

证明：M在侧棱SC的中点

求二面角S?AM?B的大小。

证（I）略

AM的中点，过F点在平面ASM内作GF?AM，GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F为AM的中点，GF∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则?GFB

AM的中点，过F点在平面ASM内作GF?AM，GF交AS于G，

连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，

∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵F为AM的中点，

G

F

∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。

则?GFB即为所求二面角.∵SM?

2，则GF?

2

2 ，

6BF?。在△GAB中，AG?26，AB?2，?GAB?900，∴BG?3?4?2112GF又∵SA?AC?

6

BF?

。在△GAB中，AG?

2

6

，AB?2，?GAB?900，∴BG?

3

?4?

2

11

2

G

F

3

3

cos?BFG?

GF2

FB2?BG2

1?3?11

? 2 2 ??2?? 6

2GF?FB

2? 2? 3 6 3

2

∴二面角S?AM?B的大小为arccos(? 6)

练习

练习1如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，

?ABC?60?,E，F分别是BC,PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

6

，求二面角E—AF—C的余弦值.

2

分析：第1题容易发现，可通过证AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF上找到可计算二面

角的平面角的顶点S，和两边SE与SC，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为 15）

5

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知

1

点B作另一半平面FCC的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC的垂线，得垂足P，连结起点与终点得

1 1

斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。

例2．如图，在直四棱柱ABCD-A

1

BCD

1 1 1

中，底面ABCD为等腰 D C

1 1

梯 形

AB FFF

OB?

3 FF

， A

1OP OF

1

?

F

BD 1 C 1

B

1 1

111111 1111

111 1

11 CC CF A P B

1 1 1E D C 1

1

E O

A1E D F C B

A

1

E

A F B

OP? 1 ?2? 2

2

21 14 OP 7 7

2

BP? OP2?OB2? ?3? cos?OPB? ? ?

22?22 2

2 2 BP

14 7 1 7

2

练习2如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形．已知

练习2如图，在四棱锥P?A