微分的概念及运算通用课件.pptVIP

§2.3微分的概念及运算一、微分的概念二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用

一.微分的概念1.引例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.

再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?

2.定义:若函数则称函数在点的增量可表示为(A为不依赖于△x的常数)在点可微,而称为即的微分,记作3.可微的条件：定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即

定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即证:“必要性”在点可微,则已知故在点可导,且

定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知在点的可导,则即

说明:当时,所以时与是等价无穷小,故当很小时,有近似公式

二.微分的几何意义切线纵坐标的增量当很小时,记自变量的微分,记作则有从而导数也叫作微商

三.微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式(P57)

2.微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)5.复合函数的微分分别可微,则复合函数的微分为微分形式不变性

例1解方法一:用定义方法二:用微分形式的不变性

例2解

求例3.设解:利用一阶微分形式不变性,有例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.

练习P.603(1,3,5,7)

四.微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值2.计算函数的近似值使用原则:

例.求的近似值.解:设取则

3.计算在点附近的函数近似值很小)常用近似公式:证明(5)

例解

例.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,估计一下,每只球需用铜多少克.解:已知球体体积为时体积的增量镀铜体积为V在因此每只球需用铜约为(g)