适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练19利用.docVIP

课时规范练19利用导数探讨不等式恒(能)成立问题

1.(2024河南洛阳模拟预料)已知函数f(x)=ax3-bx2-9x-1在x=-1处取得极值4.

(1)求实数a,b的值;

(2)若存在x∈[2,4],使3λ-λ2≥f(x)成立,求实数λ的取值范围.

2.已知f(x)=ex-ax2-x-1.

(1)当a=e2时,求f(x

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.

3.已知函数f(x)=ex-kx,g(x)=x2+k2-3.

(1)探讨函数f(x)的单调区间;

(2)若2f(x)≥g(x)对随意的x≥0恒成立,求实数k的取值范围.

4.已知函数f(x)=(x+1)e-ax,a≠0,若对随意的x≥0,不等式f(x)≤12x+1恒成立,求实数a的取值范围

5.已知函数f(x)=-mx+lnx+1,g(x)=cosx+xsinx-1.

(1)探讨函数f(x)的单调区间与极值;

(2)若m12,对随意的x1∈[1,2],总存在x2∈[0,π],使得不等式f(x1)-g(x2)1成立,试求实数m的取值范围

课时规范练19利用导数探讨不等式恒(能)成立问题

1.解(1)f(x)=ax3-bx2-9x-1,则f(x)=3ax2-2bx-9.

因为函数f(x)=ax3-bx2-9x-1在x=-1处取得极值4,

所以f(-1

此时f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).

令f(x)=0,得x=-1或x=3.

易知f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,3)内单调递减,在区间(3,+∞)上单调递增,

则x=-1是函数f(x)的极大值点,符合题意.

故a=1,b=3.

(2)若存在x∈[2,4],使3λ-λ2≥f(x)成立,则3λ-λ2≥[f(x)]min.

由(1)得,f(x)=x3-3x2-9x-1,

且f(x)在区间[2,3)上单调递减,在区间(3,4]上单调递增,

所以[f(x)]min=f(3)=27-27-27-1=-28,

所以3λ-λ2≥-28,即λ2-3λ-28≤0,

解得-4≤λ≤7,

所以实数λ的取值范围是[-4,7].

2.解(1)当a=e2时,f(x)=ex-e2x2-x-1,则f(x)=ex-ex-1.令m(x)=ex-ex-1,则m(x)=ex-e.令m(x)=0,得x=

当x1时,m(x)0,m(x)在(-∞,1)上单调递减;

当x1时,m(x)0,m(x)在(1,+∞)上单调递增.

因为f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=e2-2e-10,

所以存在x0∈(1,2),使f(x0)=0,所以,当x∈(-∞,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x∈(0,x0)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以0和x0是f(x)的极值点,所以f(x)有两个极值点.

(2)f(x)=ex-ax2-x-1,f(x)=ex-2ax-1,设h(x)=f(x)=ex-2ax-1(x≥0),则h(x)=ex-2a单调递增,又因为h(0)=1-2a,

所以当a≤12时,h(x)≥0,h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,符合题意

当a12时,令h(x)=0,解得x=ln2a

当x∈[0,ln2a)时,h(x)0,h(x)在区间[0,ln2a)内单调递减,f(x)=h(x)≤h(0)=0,f(x)在区间(0,ln2a)内单调递减,

所以当x∈(0,ln2a)时,f(x)f(0)=0,不符合题意.所以实数a的取值范围是-∞,12.

3.解(1)f(x)=ex-k.

①若k≤0,f(x)0恒成立,则f(x)在R上单调递增;

②若k0,当xlnk时,f(x)0,f(x)单调递增;

当xlnk时,f(x)0,f(x)单调递减.

综上,当k≤0时,f(x)在R上单调递增;当k0时,f(x)的单调递增区间是(lnk,+∞),单调递减区间是(-∞,lnk).

(2)2ex-2kx≥x2+k2-3对随意的x≥0恒成立,即x2+2kx+

令h(x)=x2

则h(x)=-(x

令h(x)=0,得x=-k-1或x=-k+3.

①当k≥3时,h(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递减,

所以只需h(0)=k2-3≤2,即k∈[-5,5],与k

②当-1≤k3时,h(x)在区间(0,-k+3)内单调递增,在区间(-k+3,+∞)上单调递减,所以只需h(-k+3)=6e-k+3≤2,即k≤3-ln3,所以-1≤k

③当k-1时,h(x)在区间(0,-k-1)内单调递减,在区间(-k-1,-k+3)内单调递增,在区间(-k+3