数学分析中一些奇怪函数的构造.pdfVIP

數數數學學學分分分析析析中中中一一一些些些奇奇奇怪怪怪函函函數數數的的的構構構

與與與作作作圖圖圖

武國寧怬中國石油大學怭北京任教。孫娜，中國石油大學怭北京任教。

恊恡恮恵恡恲恹怱怸怬怲怰怱怸

引引引言言言

數學分析中有許多和人們的直觀認識不吻合的恜奇怪怢函數，對於該類

函數的研究有助於人們更好的認識分析中的一些定義。對於這些恜奇怪怢函

數的研究有時會助推一門新學科的產生。

怱怸怷怲年恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳給出了一個處處連續，處處不可導的函數恛怴恝。在當

時，許多數學家認為這樣的函數不可能存在。恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數被認為是第

一個分形的例子，儘管在當時還沒有分形的概念。怱怹怰怳年恔恡恫恡恧恩構了一

個處處連續，處處不可導的函數，人們稱之為恔恡恫恡恧恩函數恛怱恝。兩者的區

別在於：恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數在任何點導數不存在也不是無窮大；恔恡恫恡恧恩函數

雖然不可導，但在有些點的導數為無窮大。恔恡恫恡恧恩函數在實分析和數論

中有著重要的應用。怱怸怷怵年恔恨息恭恡恥根據恄恩恲恩恣恨恬恥恴函數定義了一個新的函

數，人們稱之為恔恨息恭恡恥函數恛怲恝。該函數在無理數點連續，在有理數點間

斷恛怶恝。

至今，數學家們一直在探索如何構造這些恜奇怪怢函數，研究這些恜奇

怪怢函數的性質，應用及其作圖。本文首先給出了兩種構處處連續，處

處不可導函數的方法。通過計算機作出了這類函數的圖像。最後，本文

推廣了恔恨息恭恡恥函數。該類函數在無理數點連續，有理數點間斷。通過計

電子郵件

函數定義在區間上，該函數在有理數點的取值為，在無理數點的取值

為，但是該函數無法通過計算機實現作圖。

怱

圖怱怺恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數，怽怰怷怽怲怮

算機作圖，給出了推廣後函數的圖像。這些工作有助於提高人們的直觀認

識。

處處處處處處連連連續續續，，，處處處處處處不不不可可可導導導函函函數數數的的的構構構方方方法法法與與與作作作圖圖圖

函函函數數數

怱怸怷怲年恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳給出了一個處處連續，處處不可導函數，後來被稱

為恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數，其表達式為怺

怨怩怽恣息恳怨怩怨怱怩

怳

這裡怰怱且怱怫。圖怱為怽怰怷怽怲截取

怲

公式怱的前怳怰項畫出的函數的圖像；圖怲為怽怰怷怽怲怰怰截取公

式怱的前怳怰項畫出的函數的圖像。從圖中可以看出：隨著的增大，函

數趨於不光滑。恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數被認為是第一個和分形有關的函數，現

在恗恥恩恥恲恳恴恲恡恳恳函數已經成為處處連續，處處不可導函數的代名詞。

下面介紹兩種構處處連續，處處不可導函數的方法。

函函函數數數及及及其其其推推推廣廣廣

恂息恵恲恢恡恫恩通過迭代方法，構了一個處