微积分发展简史课件.pptVIP

十七世纪的微积分任何研究工作的开端，几乎都是极不完美的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确的途径示以他人。……可以这样说，为了寻找真理，我们是注定要经历挫折和失败的。——狄德罗

任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世纪，人们对函数才有了明确的理解。函数概念的提出，与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函数定义为这样一个量：它是其他的量经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。

因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无理数就一直被人们随心所欲地使用着。

紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。

哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.Archimedes

第一类问题已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。

第一类问题困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

第二类问题困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。

第三类问题求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。

第三类问题困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。

第四类问题求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。

第四类问题困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。

欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。它的思想虽然古老，但很重要，阿基米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说明一下这种方法。看一下阿基米德在证明两个圆的面积比等于其直径平方比所作的工作。Archimedes

8边形

16边形

16边形32边形64边形

希腊数学的重大成就之一，是将许多数学命题和定理按逻辑上连贯的方式归为为数不多的非常简单的公设或公理。即熟知的几何公理和算术法则，它们支配着如整数、几何点这样一些基本对象之间的关系。这些基本对象是作为客观现实的抽象或理想化而产生的。

各项公理，或因从哲学观点看可以认为是“显然”的，或仅仅因其非常有说服力，而被不加证明地予以接受。这可靠吗？

已定型的数学结构就建立在这些公理的基础之上。在后来的许多世纪中，公理化的欧几里德数学曾被认为是数学体系的典范，甚至为其他学科所努力效仿。（例如，像笛卡尔、斯宾诺沙等哲学家，就曾试图把他们的学说用公理方式，或者如他们所说，“更加几何化”地提出来，以便使之更有说服力。）

经过中世纪的停滞时期后，数学同自然科学一起，在新出现的微积分的基础上开始了突飞猛进的发展，这时公理化的方法才被人们遗弃了。

曾经极其广泛地开拓了数学领域的有创造才能的先驱们，并不因为要使这些新发现受制于协调的逻辑分析而束缚住自己，因此，在十七世纪，逐渐广泛地采用直观证据来代替演绎的证明。一些第一流的数学家在确实感到结论无误地情况下，运用了一些新的概念，有时甚至运用一些神秘的联想。由于对微积分新方法的全面威力的信念，促使研究者们走得很远（如果束缚于严格的限制的框架上，这将是不可能的）。不过只有具备卓越才能的数学大师们才有可能能避免发生大错。

微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。

费马研究