微分中值定理与导数的应用课件.pptVIP

第一节微分中值定理一、罗尔定理定理1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点?∈(a,b),使得f?(?)=0．返回上页下页

证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M,因此,对一切x∈(a,b),都有f?(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点?处达到最大值,即f(?)=M,下面证明f?(?)=0．返回上页下页

因f(x)在?达到最大值,所以不论?x是正的还是负的,总有f(?+?x)-f(?)≤0．当?x＞0时,当?x0时,从而必须有f?(?)=0.返回上页下页

例1验证罗尔定理对函数f(x)=x确性．-2x+3在区间[-1,3]上的正2解显然函数f(x)=-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,由f?(x)=2x-2=2(x-1),可知f?(1)=0,因此存在?=1∈(-1,3),使f?(1)=0．注罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.返回上页下页

例2证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,返回上页下页

例３设f(x)在［0,1］上可导，当0≤x≤1时，0≤f(x)≤1,且对于(0,1)内所有x，有f′(x)≠1，求证在［0,1］上有且仅有一个，使f()=证令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-1≤0,F(0)=f(0)≥0．由连续函数介值定理知至少存在一点∈［0,1］,使得F()=0，即f()=，下面证明在［0，1］上仅有一点假设另有一点，使F()=0．∈［0,1］,使得F()=0．不妨设，则由罗尔定理可知,在[,]上至少有一点ξ，使F′(ξ)=0,即f′(ξ)=1,内有且仅有这与原题设矛盾．这就证明了在［0，1］一个，使f()=返回上页下页

二、拉格朗日中值定理定理2若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导．则至少存在一点?∈(a,b),使得证作辅助函数F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且返回上页下页

故F(x)满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点?∈(a,b),使得F?(?)=0,即因此得返回上页下页

拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)=f?(?)(b-a)(a＜?＜b)另外，由于?是(a,b)中的一个点,它还可以表示成?=a+?(b-a)(0＜?＜1),于是，拉格朗日中值公式又可写成f(b)-f(a)=(b-a)f?[a+(b-a)](0＜?＜1)?要注意的是，在公式中，无论a＜b或a＞b，公式总是成立的，其中ξ是介于a与b之间的某个数．注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.返回上页下页

例4证返回上页下页

例5证明不等式＜ln(1+x)＜x对一切x＞0成立.证由于f(x)=ln(1+x)在［０，＋∞）上连续、可导，对任何x＞0，在［0,x］上运用微分中值公式,得f(x)-f(0)=f′(x)x,(01),即ln(1+x)=由于(01)．＜＜x,因此当x＞0时，有＜ln(1+x)＜x．返回上页下页

推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f?(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．证在(a,b)内任取两点x,x,设xx,显然f(x)在[x,x]上满12足拉格朗日中值定理的条件1212因为f?(x)≡0,所以f?(?)=0.从而f(x)=f(x).21返回上页下页

例4证返回上页下页

推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f?(x)=g?(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).证因[f(x)-g(x)]?=f?(x)-g?(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．返回上页下页

三、柯西中值定理定理3(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g?(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点?,使得证若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点?∈(a,b),使1g?(?)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).1返回