适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练44求空间角.docVIP

课时规范练44求空间角

1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2.

(1)求证:BC1⊥平面A1B1C;

(2)求异面直线B1C与A1B所成角的大小.

2.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.求:

(1)BC;

(2)二面角A-PM-B的正弦值.

3.(2024山东临沂二模)如图,AB是圆柱底面圆O的直径,AA1,CC1为圆柱的母线,四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形,且AB=AA1=2BC=2CD,E,F分别为A1D,C1C的中点.

(1)证明:EF∥平面ABCD;

(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值.

4.(2024山东枣庄一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AA1,A1D1的中点,过点D1作出正方体ABCD-A1B1C1D1的截面,使得该截面平行于平面BEF.

(1)作出该截面与正方体表面的交线,并说明理由;

(2)求BD1与该截面所在平面所成角的正弦值.

(截面:用一个平面去截一个几何体,平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.)

5.(2024全国乙,理18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.

(1)证明:平面BED⊥平面ACD;

(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求CF与平面ABD所成的角的正弦值.

6.(2024山东德州三模)已知底面ABCD为菱形的直四棱柱,被平面AEFG所截几何体如图所示,CE⊥BG.

(1)求证:FG⊥BG;

(2)若AB=2,∠DAB=60°,三棱锥G-ACD的体积为233,直线AF与底面ABCD所成角的正切值为32,求锐二面角

课时规范练44求空间角

1.(1)证明∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2,

∴BC1⊥B1C,BB1⊥A1B1,A1B1⊥B1C1.

∵BB1∩B1C1=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.

∵BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1.

∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C.

(2)解以B为原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略).

B1(0,0,2),C(2,0,0),A1(0,2,2),B(0,0,0),

B1C=(2,0,-2),A1B=(0,

设异面直线B1C与A1B所成的角为θ,

则cosθ=|B

又θ∈0,π2,∴θ=π3.

∴异面直线B1C与A1B所成角的大小为π3

2.解(1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM?底面ABCD,

∴PD⊥AM.

∵PB⊥AM,PB∩PD=P,

∴AM⊥平面PBD,

∴AM⊥BD,

∴∠ADB+∠DAM=90°.

又∠DAM+∠MAB=90°,

∴∠ADB=∠MAB,

∴Rt△DAB∽Rt△ABM,

∴ADAB

∴12BC2=1,∴BC=2

(2)如图,以D为原点,DA,DC,DP分别为x轴、y

可得A(2,0,0),B(2,1,0),M22,1,0,P(0,0,1),AP=(-2,0,1),AM=-2

设平面AMP的法向量为m=(x1,y1,z1),

则m

令x1=2,则y1=1,z1=2,可得m=(2,1,2).

设平面BMP的法向量为n=(x2,y2,z2),

同理可得n=(0,1,1).

则cosm,n=m·

设二面角A-PM-B的平面角为θ,

则sinθ=1-

3.(1)证明取AD的中点M,连接EM,MC.

∵E为A1D的中点,F为CC1的中点,

∴EM∥AA1,EM=12AA1

又CF∥AA1,CF=12AA1

∴EM∥CF,EM=CF,

∴四边形EMCF为平行四边形,∴EF∥CM,

又EF?平面ABCD,CM?平面ABCD,

∴EF∥平面ABCD.

(2)解设AB=AA1=2BC=2CD=4,

∵AC⊥BC,∴AC=23.

由题意知CA,CB,CC1两两垂直,故以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

则A1(23,0,4),O(3,1,0),F(0,0,2),C(0,0,0),D(3,-1,0),

∴A1D的中点E的坐标为332,-12,2

∴OF=(-3,-1,2),EF=-332,1

设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),

则n

即-

即3

令x=3,得n=(3,9,6).

∵AC⊥BC,AC⊥CC1,BC∩CC1=C,

∴AC⊥平面BCC1,

∴CA=(23,0,0)为平面BCC1的一个法向量,

cosn,CA=n·

∴平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值为102