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结构动力学

（2003秋）

;结构动力学

第五章

单自由度体系对任意荷载的反应;在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。

本章介绍三种动力反应问题的分析方法：

时域分析方法—Duhamel积分法，

频域分析方法—Fourier变换法，

时域逐步积分法—中心差分法；Newmark—β法；

Wilson—θ法。

前两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题，而第三种方法可用于处理非线性问题。根据Duhamel积分法简要讨论在冲击荷载作用下结构的反应的特点，地面运动作用下结构的运动，并简单介绍地震反应谱的概念。;5.1时域分析方法—Duhamel积分

1、单位脉冲反应函数

单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。

单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程;5.1时域分析方法—Duhamel积分

1、单位脉冲反应函数

在t=τ时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度：

当ε→0时：

由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零：;5.1时域分析方法—Duhamel积分

1、单位脉冲反应函数

无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：

有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：;5.1时域分析方法—Duhamel积分

1、单位脉冲反应函数

;5.1Duhamel积分

2、对任意荷载的反应

将作用于结构体系的外荷载

p(τ)离散成一系列脉冲，

首先计算其中任一脉冲

p(τ)dτ的动力反应：

在任意时间t结构的反应，

等于t以前所有脉冲

作用下反应的和：

;5.1时域分析方法—Duhamel积分

2、对任意荷载的反应

无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：

阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：;5.1时域分析方法—Duhamel积分

Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。

如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动，其解的形式已在第三章给出。

例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件时，问题的完整解为：

;5.1时域分析方法—Duhamel积分

杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。

因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。如果荷载p(t)是简单的函数，则可以得到封闭解（closed-form）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可以通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不高，因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从0积到t，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法，在以后将介绍。

虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。;5.2频域分析方法—Fourier变换法

Fourier变换的定义为：

速度和加速度的Fourier变换为：;5.2频域分析方法—Fourier变换法

单自由度体系时域运动方程：

对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得单自由度体系频域运动方程：;5.2频域分析方法—Fourier变换法

单自由度体系运动的频域解为：

H(iω)—复频反应函数，i是用来表示函数是一复数。

再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解：;5.2频域分析方法—Fourier变换法

频域分析方法的基本计算步骤：

1、对外荷载p(t)作Fourier变换，得到荷载的Fourier谱P(ω)：

2、根据外荷载的Fourier谱P(ω)和复频反应函数H(iω)，得到结构反应的频域解—Fourier谱U(ω)：

U(ω)=H(iω)P(ω)

3、应用Fourier逆变换，由频域解U(ω)得到时域解u(t)：;5.2频域分析方法—Fourier变换法

离散Fourier（DFT）变换

在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换，均为无穷域积分，特别是Fourier逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数（如地震动）时，用解析型的Fourier变换几乎是