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结构动力学
(2003秋)
;结构动力学
第五章
单自由度体系对任意荷载的反应;在实际工程中,很多动力荷载既不是简谐荷载,也不是周期性荷载,而是随时间任意变化的荷载,需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。
本章介绍三种动力反应问题的分析方法:
时域分析方法—Duhamel积分法,
频域分析方法—Fourier变换法,
时域逐步积分法—中心差分法;Newmark—β法;
Wilson—θ法。
前两种方法适用于处理线弹性结构的动力反应问题,而第三种方法可用于处理非线性问题。根据Duhamel积分法简要讨论在冲击荷载作用下结构的反应的特点,地面运动作用下结构的运动,并简单介绍地震反应谱的概念。;5.1时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数
单位脉冲:作用时间很短,冲量等于1的荷载。
单位脉冲反应函数:单位脉冲作用下体系动力反应时程;5.1时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数
在t=τ时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上,使结构的质点获得一个单位冲量,在脉冲结束后,质点获得一个初速度:
当ε→0时:
由于脉冲作用时间很短,ε→0,质点的位移为零:;5.1时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为:
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为:;5.1时域分析方法—Duhamel积分
1、单位脉冲反应函数
;5.1Duhamel积分
2、对任意荷载的反应
将作用于结构体系的外荷载
p(τ)离散成一系列脉冲,
首先计算其中任一脉冲
p(τ)dτ的动力反应:
在任意时间t结构的反应,
等于t以前所有脉冲
作用下反应的和:
;5.1时域分析方法—Duhamel积分
2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式:
阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式:;5.1时域分析方法—Duhamel积分
Duhamel(杜哈曼)积分给出的解是一个由动力荷载引起的相应于零初始条件的特解。
如果初始条件不为零,则需要再叠加上由非零初始条件引起的自由振动,其解的形式已在第三章给出。
例如,对于无阻尼体系,当存在非零初始条件时,问题的完整解为:
;5.1时域分析方法—Duhamel积分
杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解,适用于线弹性体系。
因为使用了叠加原理,因此它限于弹性范围而不能用于非线性分析。如果荷载p(t)是简单的函数,则可以得到封闭解(closed-form)。如果p(t)是一个很复杂的函数,也可以通过数值积分得到问题的解。但从实际应用上看,采用数值积分时,其计算效率不高,因为对于计算任一个时间点t的反应,积分都要从0积到t,而实际要计算一时间点系列,可能要几百到几千个点。这时可采用效率更高的数值解法,在以后将介绍。
虽然在实际的计算中并不常用Duhamel积分法,但它给出了以积分形式表示的体系运动的解析表达式,在分析任意荷载作用下体系动力反应的理论研究中得到广泛应用。;5.2频域分析方法—Fourier变换法
Fourier变换的定义为:
速度和加速度的Fourier变换为:;5.2频域分析方法—Fourier变换法
单自由度体系时域运动方程:
对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换,得单自由度体系频域运动方程:;5.2频域分析方法—Fourier变换法
单自由度体系运动的频域解为:
H(iω)—复频反应函数,i是用来表示函数是一复数。
再利用Fourier逆变换,即得到体系的位移解:;5.2频域分析方法—Fourier变换法
频域分析方法的基本计算步骤:
1、对外荷载p(t)作Fourier变换,得到荷载的Fourier谱P(ω):
2、根据外荷载的Fourier谱P(ω)和复频反应函数H(iω),得到结构反应的频域解—Fourier谱U(ω):
U(ω)=H(iω)P(ω)
3、应用Fourier逆变换,由频域解U(ω)得到时域解u(t):;5.2频域分析方法—Fourier变换法
离散Fourier(DFT)变换
在用频域法分析中涉及到两次Fourier变换,均为无穷域积分,特别是Fourier逆变换,被积函数是复数,有时涉及复杂的围道积分。当外荷载是复杂的时间函数(如地震动)时,用解析型的Fourier变换几乎是
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