2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题答案 .pdf

赛题妙解

2(0盥审倒锻拳如来座庭簸赛驱索嘉园领嘉=躅蹒忽参舂解袈

解析

解：易知△A。。丝CBE.

故CE=AD=说CD=BE=3.

题2

S是集合｛1,2,...,2023｝的子集，满足任意两个元素

的平方和不是9的倍数，则|5|的最大值是(这里

\S\表示S的元素个数).

题3

已知函数/(a:)—sinujx+sin2x,其中3eN+,3W

2023.若f(x)2恒成立，则满足题设的常数3的个数为

答案

1770.

解析

解：只要考虑sin2x=1x—(%+§)兀时，

..cu(4A:+1)兀,

smujx=sm——-—丰1.

4

只3(4k+1)者2(mod8)3丰宅(mod8).

而在1,2,...,2023中模8余2的数有253个，故所求

数目为2023—253=1770.□

题4

已知集合A={1,2,3),映射f：A^A,且满足对任

意xeA,有/(⑦))2皿则这样的/有个.

答案

13.

解析

解：分情况讨论:

⑴当/⑴=1时,

/⑵—2—⑶=3,

⑵=3(3)=2或3;

(2)当(1)=2时,

⑵=1=/⑶=3,

胃(2)=2=(3)=3,

(2)=3⑶=2或3;

(3)当(l)=3时，

(2)=l=(3)=1或3,

—(2)=2胃⑶=1或3,

、⑵=3⑶=2或3.

这样的/一共有13个.□

题5

已知向量|初=1,同=2,且才，甘夹角为120。.

若hit与tW+T的夹角为锐角，则t的取值范围是

答案

解析

解：由题意，得（京+厅）（带+T）0且阵1.即

Z—1一户+也0@N1）•

解得弓竺tl或lt〈写拌.□

题6-

拼-3x2+2026a?=2023,

则

y3+6g2+2035g=-4053,

!

y=

答案

-1.

解析

解：原方程组变形为

（1_时3+2023（1—时=1,

{（y+2）3+2023（；+2）=1.

由于函数/9)=