适用于新高考新教材2025版高考数学二轮复习压轴大题抢分练1.docVIP

抢分练1

(时间:30分钟,满分:24分)

1.(12分)(2024湖南邵阳二模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(0a10,b0)的右顶点为A,左焦点F(-c,0)到其渐近线bx+ay=0的距离为2,斜率为13的直线l1交双曲线

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=6相交于M,N两点,试问:以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

2.(12分)(2024新高考Ⅱ,22)(1)证明:当0x1时,x-x2sinxx;

(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

抢分练1

1.解(1)∵双曲线C的左焦点F(-c,0)到双曲线C的一条渐近线bx+ay=0的距离d=|bc|a2+b2=b

∴双曲线C的方程为x2a2-y

依题意直线l1的方程为y=13(x-a)

联立x

消去y整理得(36-a2)x2+2a3x-a2(a2+36)=0,

依题意36-a2≠0,Δ0,设点A,B的横坐标分别为xA,xB,

则xAxB=a2(a2+36)a2-36.∵

∴|AB|=1+(13)?2|xA-xB|=103|xA-xB|=8103,∴|xA-x

∵0a10,∴a=3,经检验,a=3符合题意,

∴双曲线C的方程为x29-

(2)过定点.依题意直线l2的斜率不等于0,设直线l2的方程为x=my+6.

由x=my+6,x29-y24=1,消去x

∴4m2-9≠0,Δ10.设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则y1+y2=-48m4m2-9,

易知x1≠3,则直线AP的方程为y=y1x1-3(x-3),令x=6得y=3y1x1-3,∴

由对称性可知,若以线段MN为直径的圆过定点,则该定点肯定在x轴上,

设该定点为R(t,0),则RM=(6-t,3y1x1-3),RN

故RM·RN=(6-t)2+9y1y2(x1-3)(x2

=(6-t)2+9×1084m2-9m2×

解得t=6-23或t=6+23.故以线段MN为直径的圆过定点(6-23,0)和(6+23,0).

2.(1)证明设h(x)=sinx-x,x∈[0,1],则h(x)=cosx-1≤0对?x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h(0)=0,

所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.

所以对?x∈(0,1),有h(x)h(0)恒成立.

又因为h(0)=0,所以sinx-x0恒成立.

所以sinxx,x∈(0,1).设g(x)=sinx-(x-x2),

则g(x)=cosx+2x-1.令G(x)=cosx+2x-1,则G(x)=-sinx+20对?x∈[0,1]恒成立,

所以g(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g(0)=1+0-1=0,所以对?x∈[0,1],g(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.

所以对?x∈(0,1),有g(x)g(0)恒成立.又因为g(0)=0,

所以sinx+x2-x0对?x∈(0,1)恒成立.

所以x-x2sinx,x∈(0,1).

综上可知,x-x2sinxx,x∈(0,1)成立.

(2)解若a≠0,当0xmin1,

(ⅰ)若a0,有a2x-a3x2asinaxa2x;

(ⅱ)若a0,有a2x+a3x2asinaxa2x.

证明:(ⅰ)当a0时,由(1)知ax-a2x2sinaxax,0xmin1,1|a|,所以a2x-a3x2a

(ⅱ)当a0时,由(1)知-ax-(-ax)2sin(-ax)-ax,0xmin1,1|a|,所以-a2x-a(-ax)2asin(-ax)-a2x,即a2x+a3x2asinaxa

因为f(x)=cosax-ln(1-x2),x∈(-1,1),所以f(x)=-asinax--2x1-x2=-asinax+2x1-x2,满意f(0)=-asin0+0=0.因为f

所以函数f(x)为奇函数.

①若a=0,则f(x)=2x

当x∈(-1,0)时,f(x)0;

当x∈(0,1)时,f(x)0.

故x=0是函数f(x)的微小值点,不符合题意.

②若a∈(2,+∞),则当0≤xmin1,1a时,asinaxa2x-a3

所以f(x)-a2x+a3x2+2x1-

令F1(x)=21-x2+a3x-a2,0≤

则F1(x)=4x(1-x2)2+a30,故当0≤xmin1,1|a|时,F1(

所以存在t10,使得F1(x)在(0,t1)上恒小于0,

此时f(x)xF1(x)0.

又因为函数f(x)是奇函数,所以在(-t1,0)内有f(x)0.

因此函数f(x)在(-t1,0)内单调递增,在(0,t1