适用于新高考新教材2025版高考数学二轮复习中低档大题规范练3.docVIP

规范练3

(时间:45分钟,满分:46分)

1.(10分)(2024浙江,18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=5c,cosC=35

(1)求sinA的值;

(2)若b=11,求△ABC的面积.

2.(12分)(2024浙江杭州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.

(1)求a2及数列{an}的通项公式;

(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列{1dn}的前n项和T

3.(12分)(2024湖南株洲一模)如图1,已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,沿对角线BD将其翻折,使∠ABC=90°,设此时AC的中点为O,如图2.

图1

图2

(1)求证:点O是点D在平面ABC上的射影;

(2)求直线AD与平面BCD所成角的余弦值.

4.(12分)(2024新高考Ⅰ,20)一医疗团队为探讨某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为比照组),得到如下数据:

不够良好

良好

病例组

40

60

比照组

10

90

(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异?

(2)从该地的人群中任选一人,A表示事务“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事务“选到的人患有该疾病”,P(B|

①证明:R=P(

②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R的估计值.

附:χ2=n(

α

0.050

0.010

0.001

xα

3.841

6.635

10.828

规范练3

1.解(1)∵cosC=35且0Cπ,∴sinC=45.∵4a=5

∴ac=54.由正弦定理得a

∴sinA=54×sinC=5

(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcosC,c2=112+(54c)2-2×54c×11×35,c2=112+516c2

即1116c2+33510c-112=0,整理得5c2+245c-880=0,解得c=-245+6452×5=45

∴S△ABC=12absinC=12×5×11×45

2.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.

当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.

当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,

两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,

综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,

故an=2·2n-1=2n,n∈N*.

(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn=

12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,两式相减,可得12Tn=221+

∴Tn=3-n+32n,n∈

3.(1)证明连接DO,因为DA=DC,O为AC的中点,所以DO⊥AC.

设菱形ABCD的边长为2,因为∠ABC=90°,所以AC=22.

连接BO,则BO=2.

因为DA=DC=2,AC=22,所以DA2+DC2=AC2,

所以DA⊥DC,所以DO=2.

又BD=2,所以DO2+OB2=DB2,所以DO⊥OB.

因为AC∩OB=O,AC?平面ABC,OB?平面ABC,DO?平面ABC,所以DO⊥平面ABC,

所以点O是点D在平面ABC上的射影.

(2)解设点A到平面BCD的距离为h,令菱形ABCD的边长为2,且∠DAB=60°,则∠DCB=60°,故△BCD的面积为12BC×DC×sin60°=12×2×2×32=3,则VA-BCD=13S

△ABC的面积为12BC×AB=12×2×2=

由(1)知,DO⊥平面ABC,且DO=2,

所以VD-ABC=13×S△ABC×DO=13×2×

由VA-BCD=VD-ABC,得33h=223,解得

设直线AD与平面BCD所成角为θ,

则sinθ=hAD=263

即直线AD与平面BCD所成角的余弦值为33

4.解(1)零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.由题意可知,n=200,

∴χ2=n(

246.635=x0.01.

依据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

(2)①证明:R=P(

②P(A|B)=P(AB)P

P(A|B)=P