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空间平面与直线
l
a
全日制普通高级中学教科书
第1页
第1页
教学目
理解空间两条直线平行关系，直线平行关系传递性。
掌握直线和平面，平面和平面平行鉴定定理与性质定理。
理解异面直线概念。
掌握异面直线夹角，垂线概念，理解异面直线距离概念。
掌握直线和平面，平面和平面垂直鉴定定理。与性质定理。
理解正射影概念和三垂线定理及其逆定理。
第2页
第2页
目录
第3页
第3页
复习提问
两直线平行公理是什么?
答:平行于同始终线两直线平行.
l
a
b
证毕
第4页
第4页
空间平行直线
定理
假如一个角两边和另一个角两边分别平行,
且方向相同.那么这两个角相等.
证实:
截取
=
¢
¢
。
。
。
是平行四边形
四边形
。
，
同理有
，
是平行四边形。
C
A
B
BAC
E
D
A
ADE
D
E
ED
DEED
E
E
A
A
E
E
A
A
D
D
A
A
D
D
A
A
DA
D
A
D
A
AD
D
A
AD
¢
¢
¢
Ð
=
Ð
¢
¢
¢
D
@
D
\
¢
¢
=
\
\
¢
=
¢
¢
¢
¢
=
¢
¢
¢
\
¢
¢
\
¢
¢
=
¢
¢
//
//
,
,
//
Q
证毕
第5页
第5页
异面直线及其夹角
定义1：
连接平面内一点与平面外一点直线
和这个平面内不通过此点直线是异
面直线。
（如图）直线AB与直线l为异面直线。
定义2：
A
B
l
b
a
a
o
o
第6页
第6页
注意
若两异面直线所成角是直角就说两
条直线互相垂直。
夹角为
与
夹角，因此
与
直线
等于异面
，可知
）由
（
，
，
，
，
，
成异面直线有直线
）与直线
解（
垂直？
线
）哪些棱所在直线与直
（
夹角度数
和
）求直线
（
是异面直线？
线
）哪些棱所在直线与直
（
例（如图）一个正方体
C
C
A
B
C
C
A
B
BA
B
C
C
B
B
C
D
DC
D
D
C
C
AD
C
B
BA
A
A
C
C
A
B
A
B
¢
¢
¢
¢
¢
Ð
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
45
//
2
1
3
2
1
0
解毕
第7页
第7页
直线和平面平行
鉴定定理
假如不在一个平面内一条直线和平面内
一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
a
a
a
a
//
//
//
//
l
m
l
l
m
l
m
l
矛盾。因此
这也与
求证：
，，且
，
已知：
Ì
Ë
p
m
l
b
a
证毕
第8页
第8页
性质定理
假如一条直线和一个平面平行，通过这条
直线平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行。
m
l
m
l
m
l
m
l
m
l
l
//
//
//
\
\
\
=
Ç
Ì
且没有公共点
，内
都在平面
和
，内，
在
又因
，没有公共点，
和
证实：
求证：
，
，
已知：
b
a
a
b
a
b
a
m
l
b
a
证毕
第9页
第9页
例题
BCD
EF
BCD
EF
BD
EF
F
E
BD
平面
平面
又
为中点
，
证实：连接
//
//
\
Ë
\
Q
A
B
D
C
E
F
证毕
第10页
第10页
平面和平面平行
鉴定定理
假如一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面，那么这两个平面平行。
b
a
b
a
b
a
a
b
a
a
b
b
//
//
//
//
//
//
//
\
Ì
=
Ç
=
Ç
Ì
Ì
这与平行公理矛盾
同理
，
假设
证实：用反证法
求证：
，
，
，
已知：
c
b
c
a
a
a
c
b
a
p
b
a
b
a
Q
p
c
b
a
b
a
证毕
第11页
第11页
例题
求证：夹在两个平行平面间平行
线段相等
DC
AB
ABCD
BC
AD
AC
BC
AD
AC
DC
AB
DC
AB
=
\
\
\
是平行四边形
，四边形
，交线。
，
与平面
分别是平面
，
又由于直线
拟定平面
和
证实：
//
//
b
a
Q
证毕
第12页
第12页
直线和平面垂直
三垂线定理
在平面内一条直线，假如它和这个平面一条斜线
射影垂直，那么它也和斜线垂直。
证毕
第13页
第13页
第14页
第14页
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