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2017年理论之量子力学（612）回忆版

一、

1）宽度为2L的无限深势阱，范围为−LxL，求能量本征态和相应的本征值

2）已知t=0时处于基态，势阱宽度突然变为4L，范围为−2Lx2L，求随时间变化的

波函数表达式ϕ(t)，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值E(t)

22

p12py12

ˆx

二、一个二维谐振子，哈密顿量为H=+mωx++mωy

2m2x2m2y

ω3

1）若x=，求第一个和第二个简并能级

ωy4

1

2）若ω=ω，有两个自旋为的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，

xy2

并给出简并度

三、

1）在σz表象下，σx、σy、σz的矩阵表示及其归一化本征态，本征值

2）在σx表象下，σy和σz的归一化本征态

ˆ2+

四、体系哈密顿量为H=(121)，1和2为体系两个正交归一的本征态。在t=0

ˆ

时，算符O=311−22的平均值为−1，求体系初始状态及t0的体系最快转化为1

的时间

五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体

r

−

a22

ψ=Ne，求归一化系数N和不确定度(Δx)和(Δr)

1）体系能量基态本征函数为

2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正

∞x0

