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考点突破练2三角恒等变换与解三角形

一、必备学问夯实练

1.(2024新高考Ⅱ,7)已知α为锐角,cosα=1+54,则sinα2=

A.3-58B.-1+58C

2.(2024全国甲,文8)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,则BC=()

A.1 B.2 C.5 D.3

3.(2024湖南长沙一模)若1-tan(α-π

A.-35 B.35 C.-45

4.(2024全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5,则B=(

A.π10 B.π5 C.3π

5.(2024河南周口模拟)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC,则该三角形的形态肯定是()

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.锐角三角形

6.(2024江西九江模拟)在锐角三角形ABC中,AB=3,4cosAsinB=1,若BC在AB上的投影长等于△ABC的外接圆半径R,则R=()

A.4 B.2 C.1 D.1

7.(多选题)(2024广东深圳龙华中学校考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,sinA=45,cosC=210,则下列结论正确的是(

A.cosA=±35 B.B=

C.b=522 D.△ABC

8.(2024江西宜春一模)如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=4,AD=CD=BC=2,现将梯形ABCD依次围着B,C,D各点顺时针翻转,则在第一次围着点B翻转的过程中,对角线BD扫过的平面区域面积为()

A.2π B.3π C.8π D.4π

9.(2024河北邢台模拟)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度,AB=5km,BC=8km,CD=3km,DA=5km,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为km.?

10.(2024浙江绍兴高三期末)已知α∈(0,π2),tanα=2cosα+13-

11.(2024全国Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P-ABC的平面绽开图中,AC=1,AB=AD=3,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=.?

二、关键实力提升练

12.(2024河南郑州二模)已知△ABC不为直角三角形,AB=5,AC=2,且sin2A-2cos2A=2,则△ABC的面积为()

A.1 B.5 C.2 D.3

13.(2024全国甲,理11)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,则△PBC的面积为()

A.22 B.32 C.42 D.62

14.(2024河南郑州二模)假设二维空间中有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,余弦相像度为向量OA,OB夹角的余弦值,记作cos(A,B),余弦距离为1-cos(A,B).已知P(sinα,cosα),Q(sinβ,cosβ),R(sinα,-cosα),若P,Q的余弦距离为13,Q,R的余弦距离为12,则tanαtanβ

A.7 B.17 C.4 D.

15.(多选题)(2024新高考Ⅰ,10)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()

A.|OP1|=|O

B.|AP1|=|A

C.OA·

D.OA

16.(2024山东菏泽一模)设x,y均为非零实数,且满意xsinπ5+ycosπ5x

17.(2024河南五市二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且46cosA=absinB+acsinC.若△ABC的面积S=62,则a的最小值为

三、核心素养创新练

18.如图是某所高校数学爱好者协会的会标,其内部是一个边长为1cm的正五边形,外面一圈是五个全等的四边形,其中∠BAD=36°,∠BCD=108°,AB=AD,CB=CD,则四边形ABCD的周长为()(sin36°=10-254

A.5+5 B.10-5

C.5+25 D.10-25

19.(2024全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.

考点突破练2三角恒等变换与解三角形

1.D解析由cosα=1-2sin2α2,得sin2α2=1-cosα2=12(1

因为0απ2,所以0α

所以sinα20,所以sinα2=

2.D解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2

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