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有限元综述

蔡璟、吕丹丹、李川

摘要：有限元法（FiniteElementMethd）是一种高效能、常用的数值计算方法。

1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经

日趋完善。如今，有限元在工程上得到泛应用。本文首先介绍了有限元的研究背景和意

义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算

法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现

状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。

关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域

有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋

势

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前言

有限元法（FiniteElementMethd）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本

思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。有限元法在早期是以变分原理为基

础发展起来的，所以它泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这

类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应

用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理

场应用中的限制。经历几十年的发展，有限元法已经被泛用于各个领域。

1.研究背景和意义

有限元法的思想首先由R.Curant在1943年提出，十九世纪六十年代数值分析科

学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。其中，我国数学家冯康独立

地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及

奠基工作做出了重要贡献。

以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅泛地被应用于

各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推并成功地用来解决其

他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度

分析、电磁场工程问题等等。

有限元法由于可以模拟任意几何模型和各种特性的复杂材料而且具有的适应性强、程

序较为通用等优势而得到了长足的发展。同时，结合其他方法和理论呈现出阔的应用前

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景，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开放域问题等领域取得较多成果。

现阶段，为了进一步拓宽求解问题的泛性以及适应求解问题对高精度，高复杂程度的要

求，有限元还需要进行突破性的工作。

2.有限元研究概况

2.1有限元的诞生

1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的

未知函数，最早提出有限元法基本思想。20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统

的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机

翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。

20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技

术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clugh教授及我国的冯康教授分别独立

地在论文中提出了“有限单元”这样的名词。此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术

从此正式诞生。

2.2有限元的概念及特点

有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型数学模型——边值问题，首先

转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离散化为普

通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，求解该方程组，从而获得边

值问题的数值解，巧妙的将函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析结合到一起。其

主要特点有：

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一、离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的