高中数学立体几何之外接球与内切球问题常见模型归纳(完整版).pdf

外接球问题

江西省永丰中学陈保进

若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个多面体的外接球。

若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球

的球心。以下为常见模型。

1、长方体模型

结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。

公式：222（a,b,c为长宽高）

2Rabc

补充：以下情况可转化成长方体模型。

①若三棱锥的三条棱PA,PB,PC两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。

222

2RPAPBPC

PA

②正四面体P-ABC可在正方体中构造，正方体棱长a

2

③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。

设ACBPm,APBCn,ABPCt,则

222

abm

222，三式相加,

acn

c222

bct

222222

2(abc)mnt

b222

2222mnt

a(2R)abc

2

2、直三棱柱模型

22h2

结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，Rr()

2

r为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h为直三棱柱的高。

补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P-ABC中，PA⊥平面ABC，

则可补成直三棱柱PBC-ABC,外接球半径公式同上。

11

C1

A1C1

P

B1

B1

O

O

C

AC

O1